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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Bestimmung von Eigenvektoren
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Bestimmung von Eigenvektoren: ergebnis unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mi 25.06.2008
Autor: schlumpfinchen123

Hallo,

ich wollte die Eigenvektoren zu folgender Matrix bestimmen:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 } \in M_3_3 (\IR) [/mm]

Allerdings habe ich folgende drei Vektoren erhalten:

[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] zu [mm] \lambda_1 [/mm] = 1

[mm] \vektor{1 \\ 1\\0} [/mm]  zu [mm] \lambda_2 [/mm] = 2

[mm] \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] zu [mm] \lambda_3 [/mm] = 3

Aber das kann doch nicht richtig sein, oder? Denn die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten müssen doch linear unabhängig sein. Und diese drei Vektoren sind doch linear abhängig voneinander, da man ja den Nullvektor durch eine nicht triviale Linearkombination darstellen kann. Habe ich mich wohl verrechnet ( wüßte allerdings nicht wo) oder was könnte denn sonst der Fehler sein?

Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
        
Bezug
Bestimmung von Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Mi 25.06.2008
Autor: barsch

Hi,

> Hallo,
>
> ich wollte die Eigenvektoren zu folgender Matrix
> bestimmen:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 } \in M_3_3 (\IR)[/mm]
>  
> Allerdings habe ich folgende drei Vektoren erhalten:
>  
> [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] zu [mm]\lambda_1[/mm] = 1
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1\\0}[/mm]  zu [mm]\lambda_2[/mm] = 2
>  
> [mm]\vektor{0 \\ 1\\0}[/mm] zu [mm]\lambda_3[/mm] = 3
>  
> Aber das kann doch nicht richtig sein, oder? Denn die
> Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten müssen doch
> linear unabhängig sein. Und diese drei Vektoren sind doch
> linear abhängig voneinander, da man ja den Nullvektor durch
> eine nicht triviale Linearkombination darstellen kann. Habe
> ich mich wohl verrechnet ( wüßte allerdings nicht wo) oder
> was könnte denn sonst der Fehler sein?
>  
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

deine Überlegungen sind richtig. In der Tat muss sich bei dir ein Fehler eingeschlichen haben. Ich habe das eben mal []hiermit überprüft und siehe da, dein Eigenvektor zum Eigenwert 3 ist nicht korrekt.

> [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] zu [mm]\lambda_1[/mm] = 1
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1\\0}[/mm]  zu [mm]\lambda_2[/mm] = 2

ist korrekt, aber für [mm] \lambda_3=3 [/mm] gilt: [mm] \vektor{1\\2\\1} [/mm]

Daraufhin könntest du deine Rechnung noch einmal überprüfen.

Theoretisch kann man das ja auch mal schnell machen: ;-)

[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm]

Wir müssen ja Kern(A-3*Id) bestimmen.

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 }-\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }=\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Und siehe da: [mm] Kern(\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 })=\vektor{1 \\ 2\\1} [/mm] ist nicht-trivialer Kern.

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Mi 25.06.2008
Autor: schlumpfinchen123

ok, danke jetzt hab ichs auch so raus!!

Viele Grüße!
Bezug
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