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| Aufgabe | Bestimme eine Parabel 3. Ordnung, die bei [mm] x_1=3 [/mm] einen Hochpunkt und bei [mm] x_2=-2 [/mm] einen Tiefpunkt hat.
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Hallo MatheForum!
Die Lösung dieser Aufgabe verstehe ich nicht ganz.
Da die Parabel bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] Extremstellen hat, muss dort die 1. Ableitung f'(x) Nullstellen haben.
Ich hätte daher gesagt: f'(x)=(x-3)(x+2)
Die richtige Lösung ist aber f'(x)= - (x-3)(x+2) und damit [mm] f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+6(+d)
[/mm]
Mein Problem liegt jetzt bei dem Minus in der 1. Ableitung. Im GTR habe ich es überprüft, dass Minus ist notwendig. Ohne, währe es genau andersrum, die Extremstellen also vertauscht.
Meine Frage ist jetzt: Warum ist das so?
Es wäre schön, wenn mir das jemand verständlich erklären könnte!
LG Eli
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Hallo Elisabeth,
> Bestimme eine Parabel 3. Ordnung, die bei [mm]x_1=3[/mm] einen
> Hochpunkt und bei [mm]x_2=-2[/mm] einen Tiefpunkt hat.
>
> Hallo MatheForum!
> Die Lösung dieser Aufgabe verstehe ich nicht ganz.
>
> Da die Parabel bei [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] Extremstellen hat, muss dort
> die 1. Ableitung f'(x) Nullstellen haben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hätte daher gesagt: f'(x)=(x-3)(x+2)
Besser: [mm]f'\left(x\right) = \blue{a}*\left(x-3\right)*\left(x+2\right)[/mm]
>
> Die richtige Lösung ist aber f'(x)= - (x-3)(x+2) und damit
> [mm]f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+6(+d)[/mm]
>
> Mein Problem liegt jetzt bei dem Minus in der 1. Ableitung.
> Im GTR habe ich es überprüft, dass Minus ist notwendig.
> Ohne, währe es genau andersrum, die Extremstellen also
> vertauscht.
>
> Meine Frage ist jetzt: Warum ist das so?
Wenn Du den Ansatz [mm]f'\left(x\right) = a*\left(x-3\right)*\left(x+2\right)[/mm] machst, dann ist [mm]f''\left(x\right)=a*\left(2x-1\right)[/mm]
Ein Hochpunkt liegt ja vor, wenn [mm]f''\left(x\right)<0[/mm] ist.
[mm]f''\left(3\right)=a*\left(2*3-1\right)=5*a < 0 \Rightarrow a < 0[/mm]
Ebenso ein Tiefpunkt, wenn [mm]f''\left(x\right)>0[/mm] ist.
[mm]f''\left(-2\right)=a*\left(2*\left(-2\right-1\right)=-5*a > 0 \Rightarrow a < 0[/mm]
> Es wäre schön, wenn mir das jemand verständlich erklären
> könnte!
>
> LG Eli
>
>
Gruß MathePower
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Perfekt!
Danke, MathePower, jetzt ist es mir klar!
LG Eli
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