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| Aufgabe | | Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind? |
Hallo,
wir beschäftigen uns derzeit mit linearer Abhängigkeit von Vektoren. Darunter fällt auch folgende Aufgabe:
[mm] \vektor{3 \\ 1\\ a} \vektor{1 \\ 0\\ 4} \vektor{a \\ 2\\ 1}
[/mm]
Es soll bestimmt werde was für eine Zahl a sein muss, damit die Vektoren voneinander linear abhängig sind.
Dazu habe ich als Erstes die Vektoren in ein Gleichungssystem geschrieben:
1. 3r + s + at=0
2. r + 4t =0
3. ar + 4s + t =0
Dann dachte ich mir, wäre es doch ganz schön das s loszuwerden
und habe die 1. x4 und - der 3. genommen.
4. 12r - ar + 4at - t=0
Die 2. habe ich xa genommen
5. ar+ 4at=0
die 1. und die 3. auch xa
6. 3ar+ as+ [mm] a^2 [/mm] t = 0
7. [mm] a^2 [/mm] + 4as + t = 0
Dann habe ich 6. x4 genommen und 7. - 6. gerechnet
8. [mm] a^2 [/mm] - 12ar + t + [mm] 4a^2 [/mm] t
Aber das bringt mich alles nicht weiter und im Grunde habe ich auch schon keine Ahnung mehr was ich tue Oo
Ich hätte gerne einfach nur einen Tipp wie ich anfangen könnte, den ersten Schritt auf den richtigen Weg.
Wäre nett, wenn mir jmd helfen könnte. Ich weiß ich bin nicht weitgekommen, aber ich erwarte auch keine Lösung, sondern nur eine kleine Hilfestellung
Vielen Dank im Voraus
lg
Sumpfhuhn
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Hiho,
ich denke mal nicht, daß du den Gauß-Algorithmus schon kennst, denn dann würd ich sagen: Gauß 
Solltest du den noch nicht kennen, würde ich an deiner Stelle eine Gleichung nach einer Variablen umformen und in die zweite einsetzen.
Diese dann wieder nach einer Variablen umformen und in die Dritte einsetzen..... fertig 
Du solltest dafür:
1.) Gleichungen nutzen, wo möglichst eine Variable ohne (oder mit "schönem") Faktor davor vorkommt.
2.) Gleichungen nutzen, mit möglichst wenig Variablen drin.
Wenn du dich an dieses Prinzip hälst, solltest du dieses und ähnliche Gleichungssysteme leicht lösen können.
Gruß,
Gono.
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Hi danke, dass du mir geantwortet hast.
Also ich kenne das Gauß-Jordan-Verfahren. Dabei stand vor den Variablen nicht noch eine Unbekannte, die bestimmt werden musste.
Bei den Aufgaben die wir rechnen sollen, sollen wir a bestimmen und nicht r oder s oder t. Also nur nach a auflösen.
Deswegen setze ich sie eben auch in ein Gleichungssystem ein und versuche zB s so schnell wie möglich zu entfernen und irgendwann nur noch eine Gleichung mit a und ohne r oder s oder t zu haben.
Da hab ich simpel gesagt einiges rumprobiert, aber bin nicht auf die richtige Fährte gekommen.
Im Moment weiß ich deshalb mit deiner Antwort nicht wirklich etwas anzufangen, sry vllt habe ich dich nicht ganz verstanden.
lg
Sumpfhuhn
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Hm ok, rechnen wir es mal durch:
[mm]3r + 1s + at = 0 [/mm]
[mm]1r + 0s + 4t = 0 [/mm]
[mm]ar + 4s + 1t = 0 [/mm]
Ok, gehen wir mal nach dem o.g. Prinzip vor.
Alle Gleichungen haben eine Variable direkt dastehen. Davon ist die 2. diejenige mit weniger Variablen, also nehmen wir erstmal die und formen die um.
[mm]r = -4t [/mm]
Nun haben wir noch eine Gleichung, wo eine Variable direkt drinsteht, die 1. also setzen wir da ein: (man könnte natürlich auch in die 3. Einsetzen und dann nach t Umformen )
[mm]3(-4t) + 1s + at = 0 [/mm]
Umformen:
[mm]s = (12 - a)t [/mm]
Und in die Dritte einsetzen:
[mm]a(-4t) + 4(12-a)t + 1t = 0 [/mm]
Umformen:
[mm]-4at + 48t - 4at + t = 0 [/mm]
[mm](49 - 8a)t = 0 [/mm]
Soooooooooo, die Vektoren sollen nun linear abhängig sein, d.h. es muss mindestens noch eine Lösung des Gleichungssystem geben, die verschieden der trivialen Lösung r=s=t=0 ist, also soll [mm] t\not=0 [/mm] gelten.
Also muss gelten, damit die Gleichung erfüllt ist:
[mm](49-8a) = 0[/mm]
[mm] a = \bruch {49}{8} [/mm]
Fertig
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Do 28.09.2006 | | Autor: | Sumpfhuhn |
Ok, jetzt wo ich das sehe scheint das alles ganz logisch Oo...ich war ein Blindfisch, sry.
Ich hätte es halt versucht wie bei folgender Aufgabe zu rechnen.
r + 2s + t=0 / *a
2ar + 8s + t=0 / *a /- Gleichung 4
[mm] a^2 [/mm] r +18s + t=0 /- Gleichung 5
4. ar + 2as + at =0
5. [mm] a^2 [/mm] r + 8as + at=0
6. (8-2a)s + (1-a)t=0
7. (18 - 8a)s +(1-a)t=0
(8-2a)s + (1-a)t = (18 - 8a)s +(1-a)t
8-2a=18-8a
-2a = 10- 8a
a= 1 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Nach etwas Ähnlichem hab ich gesuhct, aber dein Lösungsweg ist viel besser, dankeschön.
Einen schönen Abend dir noch
lg Sumpfhuhn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 28.09.2006 | | Autor: | Sumpfhuhn |
Wollte nur mitteilen, dass ich nun auch den anderen Lösungsweg gefunden habe, selbstverständlich kommt dasselbe heraus.
1. 3r + s + at =0 / - 6. -->7.
2. r + + 4t =0 /* a --> 4. /*3 -->6.
3. ar +4s+ t =0 / - 4. --> 5.
4. ar + 4at=0
5. 4s+ (1-4a)t =0
6. 3r + 12t=0
7. s + (a-12)t =0 /*4 -->8.
8. 4s + (4a - 48)t=0
4s+ (4a - 48)t = 4s + (1-4a)t
4a - 48 = 1 - 4a
8a = 49
a= 49/8 =6,125
so und nun noch einmal einen wunderschönen Abend :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 28.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
verklickt
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