Bestimmung eines Wegintegrals < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Sandra |
Hallöchen!
Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Sei [mm] \gamma [/mm] : [0,2pi] - > R ² der durch [mm] \gamma [/mm] (t) = (cos (t), sint (t)) definierte Weg im R². Berechnen Sie das Wegintegral [mm] \integral_{\gamma} [/mm] v
für v(x,y)=(y,x).
Mein Problem ist, dass ich unser Beispiel aus der Vorlesung schon gar nicht nachvollziehen kann und auch nicht weiss, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Notiert haben wir:
[mm] \integral_{\gamma} [/mm] v := [mm] \integral_{\gamma} dt [/mm]
Wie muss ich nun einsetzen???
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sandra!
> Sei [mm] \gamma [/mm] : [0,2pi] - > R ² der durch [mm] \gamma [/mm] (t) = (cos
> (t), sint (t)) definierte Weg im R². Berechnen Sie das
> Wegintegral [mm] \integral_{\gamma} [/mm] v
> für v(x,y)=(y,x).
>
> Notiert haben wir:
>
> [mm] \integral_{\gamma} [/mm] v := [mm] \integral_{\red{\gamma}} dt [/mm]
Hier macht aus meiner Sicht das [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] keinen Sinn. Stattdessen müsste dort ein [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] stehen.
Naja, jedenfalls rechne ich jetzt so: 
[mm]\int\limits_{\gamma} v[/mm]
[mm] = \int\limits_0^{2\pi} < v(\gamma(t)), \gamma'(t)>\, dt[/mm]
[mm]= \int\limits_0^{2\pi} < v \left( \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \right), \begin{pmatrix} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} >\, dt[/mm]
[mm]= \int\limits_0^{2\pi} < \begin{pmatrix} \sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} >\, dt[/mm]
Meine Fragen an dich:
1) Hast du bis dahin alles verstanden?
2) Schaffst du es die Aufgabe zu Ende zu rechnen?
Falls die Antwort bei 1) oder 2) "nein" lautet, dann frage bitte unbedingt nach. Falls beide Antworten "ja" lauten, dann teile uns dein Endergebnis (vielleicht noch mit 1, 2 Zwischenschritten) bitte zur Kontrolle mit.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Sandra |
Versuche Deine Schritte mal nachzuvollziehen:
[mm]\int\limits_{\gamma} v[/mm]
[mm] = \int\limits_0^{2\pi} < v(\gamma(t)), \gamma'(t)>\, dt[/mm]
[mm]= \int\limits_0^{2\pi} < v \left( \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \right), \begin{pmatrix} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} >\, dt[/mm]
Hier Einträge von [mm] \gamma(t) [/mm] als Spalten geschrieben?!
[mm]= \int\limits_0^{2\pi} < \begin{pmatrix} \sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{pmatrix} >\, dt[/mm]
wegen v(x,y) = (y,x) ändert sich
[mm] \begin{pmatrix} cos(t)\\ sin(t) \end{pmatrix} [/mm] zu
[mm] \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \end{pmatrix} [/mm] ?!
Wenn dem so ist, habe ich es verstanden
Meine weitere Rechnung:
[mm] \int\limits_0^{2\pi} [/mm] sint(t)*(-sin(t) + cos(t)*cos(t) dt
= [mm] \int\limits_0^{2\pi} [/mm] -sin²(t) + cos²(t)
Nach Berechnung des Integrals ist meine Lösung: pi - pi = 0
Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sandra!
Du hast es, glaube ich, verstanden und dein Ergebnis ist auch richtig.
Sehr gut!! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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