Bestimmung des Residuums < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 11.04.2009 | | Autor: | huhu123 |
| Aufgabe | | Berechnung des Residuums von sin(z)/z in 0. |
Kann mir jemand helfen und erklären wie man auf die Lösung kommt. Also, ich habe die Lösung hier stehen. Es soll wohl 1 sein. Aber das verstehe ich nicht ganz, denn ich hätte gedacht, dass es 0 sein müsste. Denn da gibt es ein Korollar zur Residuenbestimmung bei einfachen Nullstellen:
"Sind g(z) und h(z) bei [mm] z_0 [/mm] holomorph und hat h(z) dort eine einfache Nullstelle, so gilt: [mm] Res_(z_0) [/mm] g(z)/h(z) = [mm] g(z_0)/ h'(z_0) [/mm] "
Ergo: sin z und z sind holomorph in null und das [mm] Res_0 [/mm] sin(z)/z = 0/1.
??? Aber.... keine Ahnung! Ist wohl ein bekanntes Beipiel, aber ich habe auch keine Rechnung in anderen Quellen gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 11.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnung des Residuums von sin(z)/z in 0.
> Kann mir jemand helfen und erklären wie man auf die Lösung
> kommt. Also, ich habe die Lösung hier stehen. Es soll wohl
> 1 sein.
Wer behauptet das? Das stimmt definitiv nicht. Die Funktion ist in 0 holomorph fortsetzbar und hat somit Residuum 0.
> Aber das verstehe ich nicht ganz, denn ich hätte
> gedacht, dass es 0 sein müsste. Denn da gibt es ein
> Korollar zur Residuenbestimmung bei einfachen Nullstellen:
> "Sind g(z) und h(z) bei [mm]z_0[/mm] holomorph und hat h(z) dort
> eine einfache Nullstelle, so gilt: [mm]Res_(z_0)[/mm] g(z)/h(z) =
> [mm]g(z_0)/ h'(z_0)[/mm] "
>
> Ergo: sin z und z sind holomorph in null und das [mm]Res_0[/mm]
> sin(z)/z = 0/1.
Genau.
Alternativ kannst du eine Laurentreihenentwicklung von [mm] $\frac{\sin z}{z}$ [/mm] um 0 machen. Dazu nimmst du eine Potenzreihe von [mm] $\sin [/mm] z$ um 0 und teilst diese durch $z$. Und auch da siehst du: es gibt keinen Hauptteil, womit insbesondere der Koeffizient von [mm] $z^{-1}$ [/mm] -- welcher das Residuum ist -- 0 ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 11.04.2009 | | Autor: | huhu123 |
Also, das es null sei stand in einem Prüfungsprotokoll. Natürlich ist mir bewusst, dass nicht immer alles stimmen muss, was in Prüfungsprotokollen steht. Schließlich sind es auch Erinnerungsprotokolle. Dennoch komisch und er hat mit 1,0 bestanden.... hm.
UND: In meinem FT-Buch steht noch was zu isolierten Singularitäten:
Dort steht diese Funktion als Bsp für hebbare Singularitäten und weiter noch:
"Was andererseits die Funktion f(z)= sin(z)/z angeht, so wir der Kundige sie sich von vornherein auch in a=0 definiert denken, nämlich durch f(0)= 1. "
Was soll das heißen? Oder Tippfehler? Oder Verständnisfehler meinerseits??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Sa 11.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also, das es null sei stand in einem Prüfungsprotokoll.
> Natürlich ist mir bewusst, dass nicht immer alles stimmen
> muss, was in Prüfungsprotokollen steht. Schließlich sind es
> auch Erinnerungsprotokolle. Dennoch komisch und er hat mit
> 1,0 bestanden.... hm.
Vielleicht war eine andere Funktion gemeint? Eventuell [mm] $\frac{\sin z}{z^2}$? [/mm] Die hat naemlich Residuum 1 in 0.
> UND: In meinem FT-Buch steht noch was zu isolierten
> Singularitäten:
> Dort steht diese Funktion als Bsp für hebbare
> Singularitäten und weiter noch:
>
> "Was andererseits die Funktion f(z)= sin(z)/z angeht, so
> wir der Kundige sie sich von vornherein auch in a=0
> definiert denken, nämlich durch f(0)= 1. "
>
> Was soll das heißen? Oder Tippfehler? Oder
> Verständnisfehler meinerseits??
Das soll bedeuten, dass die Funktion sich eindeutig holomorph in 0 fortsetzen lassen kann, naemlich durch die Wahl $f(0) = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 13.04.2009 | | Autor: | huhu123 |
Danke schön!
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