Bestimmung des Grenzwerts < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 14.06.2007 | | Autor: | chacho |
| Aufgabe | Es sei bekannt, dass der folgende Grenzwert existiert
[mm] A=\limes_{x\rightarrow0} \bruch{\sin^{4}(x)}{x^{4}} [/mm] |
Nun soll ich den Grenzwert mit dem Satz von Taylor berechnen. Mit der Regel von L'Hospital und mit einer Potenzreihenentwicklung kam ich aufs Ergebnis. A=1.
Ich weiß aber leider nicht wie ich hier eine Taylorreihe entwicklen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo chacho!
Forme zunächst um:
$A \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\sin^4(x)}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \left[\bruch{\sin(x)}{x}\right]^4 [/mm] \ = \ [mm] \left[\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}\right]^4 [/mm] \ = \ [mm] \left[\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x}*\blue{\sin(x)}\right]^4$
[/mm]
Und nun hier die Taylor-Reihe für die Sinus-Funktion [mm] $\blue{\sin(x)}$ [/mm] einsetzen sowie [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] hineinmultiplizieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 14.06.2007 | | Autor: | chacho |
Ich gehe vom Entwicklungspunkt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] aus!
Taylorreihe von sin(x)
[mm] sin\bruch{\pi}{2}+sin'\bruch{\pi}{2}(x-\bruch{\pi}{2})+sin''\bruch{\pi}{2}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}
[/mm]
Wie mache ich dann weiter?
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Hallo chacho!
Warum machst Du es Dir unnötig schwer und entwickelst um [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] ?
Viel einfacher geht es doch mit [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 14.06.2007 | | Autor: | chacho |
Ich gehe vom Entwicklungspunkt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] aus!
Taylorreihe von sin(x)
[mm] sin\bruch{\pi}{2}+sin'\bruch{\pi}{2}(x-\bruch{\pi}{2})+sin''\bruch{\pi}{2}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}.......
[/mm]
Wie mache ich dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Do 14.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich würde die Entwicklungsstelle 0 nehmen, weil sich da alle Sinusse und Cosinusse (ist das die Mehrzahl?) gleich 0 bzw. 1 sind.
Dann hast du:
[mm] \bruch{1}{x}sin(x)=\bruch{1}{x}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*x^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*x^{2k}}{(2k+1)!}
[/mm]
So sieht das ganze schon viel einfacher aus.
Jetzt kannst du deinen Grenzwert angeben:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}*x^{2k}}{(2k+1)!}<\infty
[/mm]
!!!Leibnitzkriterium:
"Alternierende Reihen aus monoton fallenden Nullfolgen sind konvergent."
Allerdings sagt dieser Satz nichts darüber aus, wie groß der Grenzwert ist. Darum weiß ich nicht, was du hier überhaupt mit Taylorentwicklung machen sollst. Das ganze soll ja am Ende 1 sein, wenn ich mich richtig erinnere.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Do 14.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Mir ist grad nochwas eingefallen:
[mm] x^{0}=1 [/mm] für alle x, auch die x, die gegen 0 gehen.
Also nimmst du die Summe und spaltest sie auf:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{x^{2k}}{(2k+1)!}
[/mm]
[mm] =1+\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{x^{2k}}{(2k+1)!}
[/mm]
Jetzt sieht man:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{x^{2k}}{(2k+1)!}\to0 [/mm] für [mm] x\to0
[/mm]
Also hat es den Grenzwert 1.
Das müsste jetzt aber richtig sein.
Musst nur noch überall das ( [mm] )^{4} [/mm] dranmachen, das hab ich vergessen.
Gruß
Max
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