Bestimmung der Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für folgende Funktionen f und Punkte [mm] x_{0} [/mm] bestimme man die Art der Singularität in [mm] x_{0}. [/mm] Bei hebbaren Singularitäten bestimme man den Grenzwert von f. Für Pole gebe man den Hauptteil an: f(x) = tan x in [mm] x_{0}= \bruch {\pi}{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon bestimmen können, dass es sich aufgrund der darstellung tan x = [mm] \bruch{sinx}{cosx} [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] um Pole der Ordnung 1 handelt. Aber ich komme partout nicht drauf wie man den Hauptteil bestimmen kann.
Ich habe schon die Taylorreihenentwicklung versucht aber komme nicht auf das gewünschte Ergebnis.
tan x = x + [mm] \bruch {x^{3}}{3} [/mm] + [mm] \bruch {2*x^{5}}{15} [/mm] + [mm] \bruch {17*x^{7}}{315}
[/mm]
(Taylorentwicklung um den Entwicklungspunkt 0)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:08 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für folgende Funktionen f und Punkte [mm]x_{0}[/mm] bestimme man die
> Art der Singularität in [mm]x_{0}.[/mm] Bei hebbaren Singularitäten
> bestimme man den Grenzwert von f. Für Pole gebe man den
> Hauptteil an: f(x) = tan x in [mm]x_{0}= \bruch {\pi}{2}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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>
> Ich habe schon bestimmen können, dass es sich aufgrund der
> darstellung tan x = [mm]\bruch{sinx}{cosx}[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] um Pole der
> Ordnung 1 handelt. Aber ich komme partout nicht drauf wie
> man den Hauptteil bestimmen kann.
> Ich habe schon die Taylorreihenentwicklung versucht aber
> komme nicht auf das gewünschte Ergebnis.
> tan x = x + [mm]\bruch {x^{3}}{3}[/mm] + [mm]\bruch {2*x^{5}}{15}[/mm] +
> [mm]\bruch {17*x^{7}}{315}[/mm]
> (Taylorentwicklung um den
> Entwicklungspunkt 0)
Benutze folgende Identität:
[mm] \tan x = \cot(\pi/2-x) = \bruch{1}{\tan(\pi/2-x)} = - \bruch{1}{\tan(x-\pi/2)}{[/mm].
Dann schreibst du die Taylorreihe der Tangensfunktion etwas um:
[mm]\tan x = x*\left(1+\bruch{1}{3}x^2 + \bruch{2}{15}x^4 + \dots\right) [/mm]
Daraus folgt (mittels Potenzreihenansatz für 1/tan, Ausmultiplizieren mittels Cauchyprodukt und Koeffizientenvergleich)
[mm] \bruch{1}{\tan x} = \bruch{1}{x} \left(1-\bruch{1}{3}x^2 + \dots\right) = \bruch{1}{x} - \bruch{1}{3}x +\dots[/mm]
Eingesetzt:
[mm] \tan x = -\bruch{1}{\tan(x-\pi/2)} = \bruch{-1}{x-\pi/2} + \bruch{1}{3} (x-\pi/2) + \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Hansilein |
Vielen Dank, mit dem Ansatz hat es nun auch gut geklappt 
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