Bestimmung der Jacobi Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung E: [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm] sei gegeben durch
E(x,y) = (exp(x)cos y, exp(x) sin y)
Berechnen sie die Jacobi Matrix.
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Hallöchen liebe Leute
Ok ich verzweifel gerade ein wenig. Also die Jacobi Matrix hat die Einträge aller ersten Ableitungen. Richtig?
Also der erste Term nach x abgeleitet ist doch:
exp(x) cos y
und nach y:
-exp(x) sin y
Und der zweite Term nach x abgeleitet:
exp(x)sin y
und nach y
exp(x) cos y.
Ist das bis hier hin richtig?
Und jetzt die Matrix?
Sieht die so aus?
[mm] \begin{pmatrix}
exp(x)cos y & -exp sin y \\
exp(x) sin y & exp cos y
\end{pmatrix} [/mm]
Ich fände es gut, wenn hier mal jemand drüber schauen könnte. Also ich kann die Hessematrix rauf und runter berechnen, aber bei der eigentlich einfacherern Jacobi-Matrix krieg ich immer voll die Krise.
Kann mir vielleicht jemand noch ein paar einfache Tipps dazu geben?
Gruß lucky
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> Die Abbildung E: [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm] sei gegeben durch
> E(x,y) = (exp(x)cos y, exp(x) sin y)
>
> Berechnen sie die Jacobi Matrix.
>
> Hallöchen liebe Leute
> Ok ich verzweifel gerade ein wenig. Also die Jacobi Matrix
> hat die Einträge aller ersten Ableitungen. Richtig?
>
> Also der erste Term nach x abgeleitet ist doch:
> exp(x) cos y
>
> und nach y:
> -exp(x) sin y
>
>
> Und der zweite Term nach x abgeleitet:
> exp(x)sin y
>
> und nach y
> exp(x) cos y.
> Ist das bis hier hin richtig?
alles ok
>
> Und jetzt die Matrix?
> Sieht die so aus?
>
> [mm]\begin{pmatrix}
exp(x)cos y & -exp sin y \\
exp(x) sin y & exp cos y
\end{pmatrix}[/mm]
>
hier hast du in der 2. Spalte die Argumente bei der e-Funktion vergessen. Du hast es oben ja richtig ausgerechnet und sicher
[mm]\begin{pmatrix}
exp(x)cos y & -exp(x)sin y \\
exp(x) sin y & exp(x) cos y
\end{pmatrix}[/mm]
gemeint.
> Ich fände es gut, wenn hier mal jemand drüber schauen
> könnte. Also ich kann die Hessematrix rauf und runter
> berechnen, aber bei der eigentlich einfacherern
> Jacobi-Matrix krieg ich immer voll die Krise.
> Kann mir vielleicht jemand noch ein paar einfache Tipps
> dazu geben?
>
> Gruß lucky
Da du alles richtig gemacht hast, weis ich nicht so recht wo dein Problem ist.
Vielleicht solltest du dir noch mal verdeutlichen:
Hesse-Matrix gibt es nur bei Funktionen (von mehreren Veränderlichen); also von Abbildungen nach [mm] \IR [/mm] .
Sie enthält alle 2. partiellen Ableitungen, und ist somit eine quadratische Matrix.
Die Jacobische gibt es von Abbildungen E aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR^m. [/mm] E "besteht" also aus m Funktionen [mm] E=\vektor{f _{1}\\ .\\.\\.\\.\\f_{m}}, [/mm] wobei jede dieser Funktionen von n Variablen abhängt.
Jetzt muss jede dieser m Funktionen der Reihe nach nach jeder der n Variablen abgeleitet werden und jede dieser m *n Ableitungen, so wie im Beispiel von dir gemacht, in die Matrix eingetragen werden.
Diese hat m Zeilen, weil m Funktionen abgeleitet werden
und n Spalten, weil nach n Variablen abgeleitet wird.
Diese Matrix ist also nur für m=n quadratisch und enthält nur erste partielle Ableitungen.
Gruß korbinian
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> hier hast du in der 2. Spalte die Argumente bei der
> e-Funktion vergessen. Du hast es oben ja richtig
> ausgerechnet und sicher
>
> [mm]\begin{pmatrix}
exp(x)cos y & -exp(x)sin y \\
exp(x) sin y & exp(x) cos y
\end{pmatrix}[/mm]
> gemeint.
Ja genau das meinte ich natürlich.
> Jetzt muss jede dieser m Funktionen der Reihe nach nach
> jeder der n Variablen abgeleitet werden und jede dieser m
> *n Ableitungen, so wie im Beispiel von dir gemacht, in die
> Matrix eingetragen werden.
>
> Diese hat m Zeilen, weil m Funktionen abgeleitet werden
> und n Spalten, weil nach n Variablen abgeleitet wird.
>
> Diese Matrix ist also nur für m=n quadratisch und enthält
> nur erste partielle Ableitungen.
>
Ja danke, wenn es mal echt so einfach auf den Punkt gebracht wird, ist das auch echt sehr logisch.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß lucky
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