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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 21.02.2010 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{2x^{2}+2}{(x-1)^{2}} [/mm] und die Funktionsschar [mm] p_{k} [/mm] mit [mm] p_{k}=-kx^{2}+4x+2 ,k\in\IR [/mm] und [mm] k\not=0
[/mm]
Bestimmen sie in Abhängigkeit vom Parameter k die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen zu den Funktionen f und [mm] p_{k} [/mm] |
Hallo zusammen
Ich komme bei dieseab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Unter einen gemeinsamen Punkt versteht man einen Berührungspunkt und einen Schnittpunkt. Demzufolge muss ich auf beiden Fälle eingehen. Dabei habe ich eher ein technisches Problem, da ich nicht genau so weiß wie mit dem Parameter in der Gleichnung umgehe.
Erstmal habe ich den Schnittpunkt untersucht:
[mm] -kx^{2}+4x+2=\bruch{2x^{2}+2}{(x-1)^{2}} |(x-1)^{2}
[/mm]
[mm] -kx^{2}+4x+2*(x^{2}-2x+1)={2x^{2}+2} [/mm]
[mm] -kx^{4}+2kx^{3}-kx^{2}+4x^{3}-8x^{2}+4x+2x^{2}-4x+2={2x^{2}+2} [/mm]
[mm] -kx^{4}+2kx^{3}-kx^{2}+4x^{3}-8x^{2}=0
[/mm]
Durch bloßes hinsehen, erkenne ich das bei x=0
ein Schnittpunkt sein muss, aber das ist sicherleich nicht der einzige schnittpunkt. Wie kann ich die weiteren ermitteln. Ich habe keine Ahnung wie ich mit der Gleichung umgehen soll.
Da habe auch beim Berührungspunkt das selbe Problem.
Ich stelle kurz mal meine vorgehensweise vor:
Ich differenziere beide Funktionen und schaue mal wo sich die differenzierten funktionen berühren, indem ich den Schnittpunkt ihrer Tangentensteigung suche.
Also:
[mm] t(x)=f'(x)*x_{0}+b [/mm] = [mm] p_{k}'(x)* x_{0}+b
[/mm]
[mm] t_{k}(x)= p_{k}'(x)* x_{0}+b
[/mm]
[mm] f'(x)*x_{0}+b [/mm] = [mm] p_{k}'(x)*x_{0}+b
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] f'(x)=p_{k}'(x)
[/mm]
[mm] \bruch{-4(x+1)}{(x-1)^{3}}=(-2kx+4)
[/mm]
Wie arbeite ich mit der Funktion weiter damit ich die Schnittstelle ermittel?
Ich würde mich für jede Hilfe bedanken
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> Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion f mit
> [mm]f(x)=\bruch{2x^{2}+2}{(x-1)^{2}}[/mm] und die Funktionsschar
> [mm]p_{k}[/mm] mit [mm]p_{k}=-kx^{2}+4x+2 ,k\in\IR[/mm] und [mm]k\not=0[/mm]
>
> Bestimmen sie in Abhängigkeit vom Parameter k die Anzahl
> der gemeinsamen Punkte der Graphen zu den Funktionen f und
> [mm]p_{k}[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Ich komme bei dieseab einem bestimmten Punkt nicht mehr
> weiter. Unter einen gemeinsamen Punkt versteht man einen
> Berührungspunkt und einen Schnittpunkt. Demzufolge muss
> ich auf beiden Fälle eingehen. Dabei habe ich eher ein
> technisches Problem, da ich nicht genau so weiß wie mit
> dem Parameter in der Gleichnung umgehe.
>
> Erstmal habe ich den Schnittpunkt untersucht:
> [mm]-kx^{2}+4x+2=\bruch{2x^{2}+2}{(x-1)^{2}} |(x-1)^{2}[/mm]
>
> [mm]-kx^{2}+4x+2*(x^{2}-2x+1)={2x^{2}+2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
da fehlt links ein Klammerpaar !
> [mm]-kx^{4}+2kx^{3}-kx^{2}+4x^{3}-8x^{2}+4x+2x^{2}-4x+2={2x^{2}+2}[/mm]
> [mm]-kx^{4}+2kx^{3}-kx^{2}+4x^{3}-8x^{2}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Durch bloßes hinsehen, erkenne ich das bei x=0
> ein Schnittpunkt sein muss, aber das ist sicherlich nicht
> der einzige schnittpunkt. Wie kann ich die weiteren
> ermitteln. Ich habe keine Ahnung wie ich mit der Gleichung
> umgehen soll.
Wenn x=0 eine erste Lösung ist, kannst du die Gleichung
durch den zugehörigen Linearfaktor (x-0)=x dividieren
und hast dann nur noch eine Gleichung dritten Grades,
welche alle restlichen Lösungen enthält. Suche dort wieder
eine erste Lösung und teile erneut durch den entsprechenden
Linearfaktor. Dann hast du nur noch eine quadratische Glei-
chung, und wie man bei dieser die Anzahl Lösungen ermittelt,
solltest du wissen.
> Da habe auch beim Berührungspunkt das selbe Problem.
So wie ich sehe, wird in der Aufgabe gar nicht verlangt,
zwischen Berührpunkten und anderen gemeinsamen
Punkten zu unterscheiden !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 21.02.2010 | | Autor: | ggg |
Danke für dein Vorschlag. Ich werde es gleich ausprobieren.
Belehre mich mal bitte. Ich dachte immer ein gemeinsamer Punkt kann entweder durch eine Schnittstelle folgen oder wenn die Funktion in irgendeinem Punkt die selbe Steigung hat , also einen Berührungspukt hat. Mag sein das es nicht verlangt ist, aber die Frage ist so allgemein gestellt worden, sodass man doch beide Fälle überprüfen muss, da beides im allgemeinen Fall zutreffen kann. Meine Skizze verifiziert nochmal meine Aussage, das sowohl eine Beührungstelle als auch eine Schnittstelle vorhanden ist. Aber bitte, wenn ich ein Denkfehler habe, korrigiere mich, da ich von den Erfahrenen gerne lernen möchte 
mfg Jonas
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Hallo!
Es ist einfach so, dass ein "Berührpunkt" nur ein Spezialfall vom "Schnittpunkt" ist.
Wenn sich zwei Funktionen f(x) und g(x) berühren, bedeutet das, dass sie sich
1. schneiden
2. an der Stelle, wo sie sich schneiden, dieselbe Steigung haben. f'(x) = g'(x).
Auch wenn es manchmal im GTR-Graphen also nicht so aussieht, als ob sie sich schneiden - sie tun's (wenn es ein Berührpunkt ist )
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:42 Sa 27.02.2010 | | Autor: | ggg |
Sorry, das ich mich so spät melde.
Ich habe die Polynomdivision durchgeführt mit den Linearfaltor (x-0) und habe für [mm] -kx^{4}+2kx^{3}-kx^{2}+4x^{3}-8x^{2}=0 [/mm] erhalten
[mm] kx^{3}-2kx^{2}+k-4x^{2}+8x=0 [/mm]
nochmal Polynomdivision mit den Linearfaltor (x-0)
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] kx^{2}-2kx+k-4x+8=0 [/mm] |/k da [mm] k\not=0
[/mm]
[mm] x^{2}-2x+1-\bruch{4x}{k}+\bruch{8}{k}=0 [/mm]
= [mm] x^{2}-2x+1+\bruch{-4x+8}{k}=0 [/mm]
ich weiß nicht mehr weier wie ich die Gleichung weiter umformen soll.
Ich hätte da an pq-Formel gedacht, aber die Gleichung sieht nicht gerade so aus, als könnte man sie anwenden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Jonas,
> = [mm]x^{2}-2x+1+\bruch{-4x+8}{k}=0[/mm]
>
> ich weiß nicht mehr weier wie ich die Gleichung weiter
> umformen soll.
> Ich hätte da an pq-Formel gedacht, aber die Gleichung
> sieht nicht gerade so aus, als könnte man sie anwenden
Doch, kann man. Du hast doch eine quadratische Gleichung der Form [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] - in deinem Fall
[mm] $x^2-\frac{2k+4}{k}x+\frac{k+8}{k}=0$
[/mm]
Gut, die Lösung ist nicht gerade "schön"... Aber vielleicht kannst du Werte für $k$ bestimmen, für die die Wurzel gleich null, oder der Term unter der Wurzel negativ ist und so auf die Anzahl der Lösungen schließen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 27.02.2010 | | Autor: | ggg |
Danke für deine Hilfe
Ich habe jetzt nun diee Gleichung in der pq-Formel überführt
[mm] x^2-\frac{2k+4}{k}x+\frac{k+8}{k}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{2k+4}{2k}\pm\wurzel[]{\bruch{4k^{2}+16}{4k^{2}}-\bruch{k+8}{k}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{2k}{2k}+\bruch{4}{2k}\pm\wurzel[]{\bruch{4k^{2}}{4k^{2}}+\bruch{16}{4k^{2}}-\bruch{k}{k}+\bruch{8}{k}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=1+\bruch{2}{k}\pm\wurzel[]{\bruch{4}{k}*(\bruch{1}{k}+2})
[/mm]
Man erkennt schon das k>0 sein muss, da sonst der Radikant negativ sein wird.
Intepretiere ich das jetzt richtig , das wir bei Stellen
[mm] x_{}=0 [/mm]
[mm] x_{1}=1+\bruch{2}{k}+\wurzel[]{\bruch{4}{k}*(\bruch{1}{k}+2})
[/mm]
[mm] x_{2}=1+\bruch{2}{k}-\wurzel[]{\bruch{4}{k}*(\bruch{1}{k}+2})
[/mm]
die Fubktionen f und [mm] p_{k} [/mm] in Abhängikeit von Parameter k gemeinsame Punkte hat (Eingangsfrage) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 27.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für deine Hilfe
> Ich habe jetzt nun diee Gleichung in der pq-Formel
> überführt
> [mm]x^2-\frac{2k+4}{k}x+\frac{k+8}{k}=0[/mm]
Daumenhoch
>
> [mm]\Rightarrow x_{1;2}=\bruch{2k+4}{2k}\pm\wurzel[]{\bruch{4k^{2}+16}{4k^{2}}-\bruch{k+8}{k}}[/mm]
Her hast du aber nen paar Dreher drin. Bei [mm] \left(\bruch{p}{2}\right)^{2} [/mm] hast du im Nenner die Binomische Formel übersehen, und voher solltest du kürzen:
Du hast: [mm] p=-\frac{2k+4}{k}, [/mm] also [mm] \bruch{p}{2}=-\frac{2k+4}{k}*\bruch{1}{2}=-\frac{2(k+2)}{2k}=-\frac{k+2}{k}
[/mm]
Also:
[mm] x_{1;2}=-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{(k+2)^{2}}{k^{2}}-\frac{k+8}{k}}
[/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{k^{2}+4k+4}{k^{2}}-\frac{\green{(}k+8\green{)*k}}{\green{k*}k}}
[/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{k^{2}+4k+4}{k^{2}}-\frac{k^{2}+8k}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{k^{2}+4k+4-\red{(}k^{2}+8k\red{)}}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{k^{2}+4k+4-k^{2}-8k}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{-4k+4}{k^{2}}} [/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\wurzel{\frac{4(1-k)}{k^{2}}} [/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\frac{\wurzel{4(1-k)}{\wurzel{k^{2}}}} [/mm]
[mm] =-\frac{k+2}{k}\pm\frac{2\wurzel{(1-k)}}{k} [/mm]
[mm] =-\frac{k+2\pm2\wurzel{(1-k)}}{k}
[/mm]
Überlege jetzt nochmal, für welche Werte von k du überhaupt Nullstellen hast, und für welche du keine bekommst.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Do 18.03.2010 | | Autor: | ggg |
Sry, das ich mich so spät melde. Ich wollte mich noch unbedingt für deine Hilfe bedanken. Sie hat mir ungemein geholfen und danke nochmal für die Geduld um alle Zwischenschritte mir aufzuzueigen. Seitdem habe ich kaum noch Probleme mit solchen Gleichungen
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