Bestimmung der Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Hallo,
ich hänge gerade über folgender Aufgabe:
Berechne: a:= [mm] \bruch{det A - det B}{det C}
[/mm]
Wobei
A= [mm] \begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} [/mm]
B= A= [mm] \begin{pmatrix}
0 & a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
0 & a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
0 & a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
und C= A= [mm] \begin{pmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix} [/mm]
Eine Freundin hat folgende Lösung raus:
[mm] \bruch{det A - (-det B)}{det C} [/mm] = [mm] \bruch{X - (-X)}{2X} [/mm] = [mm] \bruch{2X}{2X}
[/mm]
Mein Lösungsvorschlag wäre:
[mm] \bruch{X - 0}{2X}
[/mm]
Weil, det(A) sei =X und det(B) = 0, weil das Produkt der Diagonalmatrix wegen der ersten 0 = 0 ist und det(C)=2x weil die Diagonalmatrix von C das doppelt von det(A) ist.
Was meint Ihr?
Herzlichen Dank und viele Grüße
Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:10 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Mit dem 2X im Nenner bin ich mir nicht ganz sicher.
ABER das X - (-X) = 2X im Zähler ist richtig.
Wenn du eine Determinante entwickelst, musst du das sogenannte Schachbrettmuster für die Vorzeichen beachten:
[mm] \begin{vmatrix}
+ & - & + & - & + & - & + & -\\
- & + & - & + & - & + & - & +\\
+ & - & + & - & + & - & + & -\\
- & + & - & + & - & + & - & +\\
+ & - & + & - & + & - & + & -\\
\end{vmatrix} [/mm]
und es fällt jedesmal nach der zu entwickelnden Zeile (oder Spalte) etwas weg.
Einfaches Beispiel:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} [/mm]
bei der Entwicklung nach der ersten Zeile:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} [/mm]
= 1*[mm] \begin{vmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{vmatrix} [/mm] - 2*[mm] \begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix} [/mm] + 3*[mm] \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
> Hallo,
>
> ich hänge gerade über folgender Aufgabe:
>
> Berechne: a:= [mm]\bruch{det A - det B}{det C}
[/mm]
>
> Wobei
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> B= A= [mm]\begin{pmatrix}
0 & a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
0 & a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
0 & a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> und C= A= [mm]\begin{pmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{pmatrix}[/mm]
>
Bei den beiden obigen Gleichungen ist ein A zuviel, oder?
> Eine Freundin hat folgende Lösung raus:
>
>
> [mm]\bruch{det A - (-det B)}{det C}[/mm] = [mm]\bruch{X - (-X)}{2X}[/mm] =
> [mm]\bruch{2X}{2X}
[/mm]
>
> Mein Lösungsvorschlag wäre:
>
> [mm]\bruch{X - 0}{2X}
[/mm]
>
> Weil, det(A) sei =X und det(B) = 0, weil das Produkt der
> Diagonalmatrix wegen der ersten 0 = 0 ist und det(C)=2x
> weil die Diagonalmatrix von C das doppelt von det(A) ist.
>
> Was meint Ihr?
Ich würde sagen: Deine Freundin hat etwas mehr Recht. 
Wie Dana22 ja schon bemerkte, stimmt bei ihr der Zähler, der Nenner ist bei euch beiden aber falsch.
Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinanten gilt:
[mm] $\det B=(-1)^{4+1}*1*\det [/mm] A$
(Die 4 und die 1 im Exponenten von -1 sind Zeile und Spalte des Eintrags 1 in der ersten Spalte; so erhält man arithmetisch Danas Schachbrettmuster für die Vorzeichen der Unterdeterminaten).
Diesen Entwicklungssatz solltet ihr euch unbedingt nochmal ansehen.
Ich habe [mm] $\det [/mm] B$ nach der ersten Spalte (oder ersten Zeile, ist hier egal) entwickelt
Bei der dritten Determinante könnte ich mir vorstellen, dass du sie nicht vollständig abgetippt hast; wenn sie nämlich lauten würde
[mm]\det C= \begin{vmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
\red{2}a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
\red{2}a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
oder
[mm]\det C= \begin{vmatrix}
2a_1_1 & \red{2}a_1_2 & \red{2}a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
wäre das Ergebnis deiner Freundin richtig:
[mm]\begin{vmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
2a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
2a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}=2*\begin{vmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}=2*\det A[/mm]
So bleibt nur, die Determinante zu Fuß auszurechnen (ich mache es mit der Regeln von Sarrus), ohne Zusammenhang mit [mm] $\det [/mm] A$:
[mm]\begin{vmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
[mm]=2*a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{31}*a_{22}*a_{13}-a_{32}*a_{23}*2a_{11}-a_{33}*a_{21}*a_{12}[/mm]
Das Ergebnis ist aber so unattraktiv, dass du dich (oder der Aufgabensteller) sich bestimmt vertippt haben.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Hallo Marc,
vielen Dank für Deine Antwort.
Du hast Recht... die "A" sind zuviel - sorry.
Dafür habe ich "C" jedoch richtig abgeschrieben... Und das unattraktive Ergebnis kann ich mir auch nicht vorstellen.... Die Klausuren von dem sind eigentlich immer so, daß das Ergebnis ziemlich "einfach" ist.
Viele Grüße
Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo,
> Dafür habe ich "C" jedoch richtig abgeschrieben... Und das
> unattraktive Ergebnis kann ich mir auch nicht
> vorstellen.... Die Klausuren von dem sind eigentlich immer
> so, daß das Ergebnis ziemlich "einfach" ist.
Die 2en stehen auch nicht zufällig auf der Diagonalen:
[mm]\det C= \begin{vmatrix}
2a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & \red{2}a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & \red{2}a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
Oder vielleicht stimmen die Indizes nicht?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Marc, ich habe nochmal nachgeschaut - und Du hast Recht.... In der ersten Zeile von C steht :
[mm] 2a_1_1 2a_1_2 2a_1_3
[/mm]
Da hast Du doch recht.... Habe die zweichen übersehen, weil die erste 2 von [mm] a_1_1 [/mm] extra fett angemarkert ist :-( Entschuldige bitte.
Kannst Du mir erklären warum Det(C)=2 ist????
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo,
> Marc, ich habe nochmal nachgeschaut - und Du hast Recht....
> In der ersten Zeile von C steht :
>
> [mm]2a_1_1 2a_1_2 2a_1_3
[/mm]
Alles klar, dann sieht C bzw. die Determinante so aus:
[mm]\det C= \begin{vmatrix}
2a_1_1 & 2a_1_2 & 2a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
Hier kann man dann eine schöne Eigenschaft von Determinanten ausnutzen: Man kann nämlich Vielfache einer Zeile (oder einer Spalte) "ausklammern":
[mm]\det C= \begin{vmatrix}
\red{2}a_1_1 & \red{2}a_1_2 & \red{2}a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
[mm]=\red{2}* \begin{vmatrix}
a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
[mm]=\red{2}*\det A[/mm]
Diese Eigenschaft kann man sehr einfach mit dem vielzitierten Laplaceschen Entwicklungssatz beweisen, für [mm] $3\times3$-Determinanten [/mm] sieht man es aber auch schnell mit der Regel von Sarrus:
[mm]\begin{vmatrix}
\red{2}a_1_1 & \red{2}a_1_2 & \red{2}a_1_3 \\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3
\end{vmatrix}[/mm]
[mm]=\red{2}*a_{11}*a_{22}*a_{33}+\red{2}*a_{12}*a_{23}*a_{31}+\red{2}*a_{13}*a_{21}*a_{32}-\red{2}*a_{31}*a_{22}*a_{13}-\red{2}*a_{32}*a_{23}*a_{11}-\red{2}*a_{33}*a_{21}*a_{12}[/mm]
[mm]=\red{2}*\left( a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{31}*a_{22}*a_{13}-a_{32}*a_{23}*a_{11}-a_{33}*a_{21}*a_{12}\right)[/mm]
[mm]=\red{2}*\det A[/mm]
Alles klar soweit?
Zusammenfassend gilt also für
[mm] $\bruch{\det A-\det B}{\det C}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\det A-(-\det A)}{2\det A}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2\det A}{2\det A}$
[/mm]
$=1$
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Timowob |
Super... vielen Dank.... Ich glaube, daß ich dieses Semester auch mal diese Klausur schaffe Und Mathe scheint nicht so schlimm zu sein wie ich immer dachte.
Was ist denn, wenn die erste Zeile von Det(c) bleibt wie sie ist und die Zweite Zeile [mm] a_2_1 a_2_2 a_2_3 [/mm] lautet.... Kann ich dann die 2 aus der ersten Zeile und die drei aus der zweiten Zeile ausklammern. Dann würde es ja 6 (2*3) det(a) heißen - oder?
Viele Grüße
Timo
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