Bestimmung Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN\sub, [/mm] p [mm] \in\IN\sub [/mm] mit p >= 2 prim, [mm] \IZ [/mm] p = [mm] \IZ/p\IZ [/mm] der Restklassenkörper mit p
Elementen. Bestimme:
(i) die Anzahl der 1dimensionalen Untervektorräume von [mm] (\IZ [/mm] p)n,
(ii) die Anzahl der Familien von Vektoren, die eine geordnete Basis (d.h. die Reihenfolge
der Vektoren spielt eine Rolle) des Vektorraumes [mm] (\IZ [/mm] p)n bilden,
(iii) die Anzahl der kdimensionalen Untervektorräume von [mm] (\IZ [/mm] p)n für k [mm] \in [/mm] {0, . . . , n}. |
Wir hatten dies noch nie in der Vorlesung oder so und müssen es trotzdem als Aufgabe lösen. Kann mir jemand helfen wie man das macht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei n [mm]\in \IN\sub,[/mm] p [mm]\in\IN\sub[/mm] mit [mm] p\le2 [/mm] prim, [mm]\IZ[/mm] p = [mm]\IZ/p\IZ[/mm] der Restklassenkörper mit p
> Elementen. Bestimme:
> (i) die Anzahl der 1dimensionalen Untervektorräume von
> [mm] (\IZ_p)^n,
[/mm]
> (ii) die Anzahl der Familien von Vektoren, die eine
> geordnete Basis (d.h. die Reihenfolge
> der Vektoren spielt eine Rolle) des [mm] Vektorraumes(\IZ_p)^n
[/mm]
> bilden,
> (iii) die Anzahl der kdimensionalen Untervektorräume von
> [mm][mm] (\IZ_p)^n [/mm] für k [mm]\in[/mm] {0, . . . , n}.
> Wir hatten dies noch nie in der Vorlesung oder so und
> müssen es trotzdem als Aufgabe lösen. Kann mir jemand
> helfen wie man das macht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn Ihr es in der Vorlesung gemacht hättet, würdet Ihr es nicht als Aufgabe bekommen...
Leider sagst Du nicht, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Ich erkläre Dir erstmal den Vektorraum, den Du anschauen sollst.
Du sollst hier den [mm] (\IZ_p)- [/mm] Vektorraum [mm] (\IZ_p)^n [/mm] betrachten.
Was für Elemente sind da drin? Spaltenvektoren mit n Komponenten, deren Einträge aus den Elementen von [mm] (\IZ_p) [/mm] bestehen.
Ein Element aus [mm] (\IZ_7)^4 [/mm] wäre z.B. [mm] \vektor{5\\4\\0\\2}.
[/mm]
Die Addition v. Vektoren und Multiplikation mit Skalaren läuft wie gewöhnlich - allerdings unter Beachtung dessen, was im Körper [mm] \IZ_p [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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Ich meint damit das wir allgemein nicht über solche Aufgaben geredet haben. Ich weis nicht wie man das allgemein macht sowas zu bestimmen. Selbst unser Tutor hat gesagt das er nr. iii nicht rausbekommen hat. Danke das du mir nen Tipp gegeben hast doch leider weis ich immernoch nicht wie man es löst. wäre echt nett wenn du mir hilftst. Ich muss ja nur wissen wie man sowas macht dann schaffe ich es bestimmt zu lösen.
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> Ich weis nicht wie man das
> allgemein macht sowas zu bestimmen. Selbst unser Tutor hat
> gesagt das er nr. iii nicht rausbekommen hat. Danke das du
> mir nen Tipp gegeben hast doch leider weis ich immernoch
> nicht wie man es löst.
Hallo,
schade nur, daß Du nicht mitteilst, was Du Dir bisher überlegt hast.
So kann man nicht sehen, wo das Problem steckt. Die Mitteilung, daß Du nicht "weißt, wie man es löst der Tutor" auch nicht, bieten keinen Ansatzpunkt für Hilfe.
Entscheidend wäre jetzt erstmal, ob Dir der Vektorraum inzwischen klargeworden ist.
Wieviele Elemente hat er eigentlich?
Wieviele Vektoren stehen Dir zur Verfügung zum Erzeugen eines eindimensionalen Unterraumes?
Wieviele dieser so erzeugten Unterräume sind gleich?
Man kann sowas auch erstmal für einen ganz konkreten Fall bearbeiten:
Du könntest mal alle Elemente des [mm] \IZ_3^2 [/mm] aufschreiben, und die Aufgabe a) hierfür lösen.
So beginne ich immer, wenn ich Probleme nicht ganz überschaue.
Gruß v. Angela
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also ich weis wirklich nicht wie man es macht auch mit deiner aufgabe. ich würde sagen sind 2 Vektoren mit [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}und
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}
[/mm]
doch es ist nur ne vermutung wenn man sich ein koordinatensystem anschaut. ich habe auch nen Hineis bekommen der helfen soll und den habe ich versucht anzuwenden. Hinweis: in einem k-Dimensionalen Untervektorraum von [mm] (\IR\sub)^n [/mm] (0<=k<=n) sind genau [mm] p^k [/mm] viele Vektoren. da habe ich gedacht das man fasst nur einsetzen muss. jedoch bringt das nicht viel. irgendwie bin ich jez total verwirrt.
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> also ich weis wirklich nicht wie man es macht auch mit
> deiner aufgabe. ich würde sagen sind 2 Vektoren mit
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}und[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}[/mm]
>
> doch es ist nur ne vermutung wenn man sich ein
> koordinatensystem anschaut. ich habe auch nen Hineis
> bekommen der helfen soll und den habe ich versucht
> anzuwenden. Hinweis: in einem k-Dimensionalen
> Untervektorraum von [mm](\IR\sub)^n[/mm] (0<=k<=n) sind genau [mm]p^k[/mm]
> viele Vektoren. da habe ich gedacht das man fasst nur
> einsetzen muss. jedoch bringt das nicht viel. irgendwie bin
> ich jez total verwirrt.
Hallo,
wenn Du Antworten haben möchtest, achte drauf, daß Du Deine Beiträge als Fragen einstellst. Sie werden dann als solche beachtet.
Jetzt schauen wir uns mal die Vektoren von [mm] \IZ_3^2 [/mm] Vektoren, an.
Für den ersten Eintag gibt es drei Möglichkeiten, nämlich 0,1,2 und für den zweiten auch. Also erhalten wir 9 Vektoren, nämlich
[mm] \IZ_3^2=\{\vektor{0\\0}, \green{\vektor{0\\1}}, \green{\vektor{0\\2}},\blue{\vektor{1\\0}}, \red{\vektor{1\\1}}, \vektor{1\\2}, \blue{\vektor{2\\0}}, \vektor{2\\1}, \red{\vektor{2\\2}}\}.
[/mm]
Als Basis eines 1-dimensionalen Unterraumes kommen prinzipiell alle Vektoren mit Ausnahme des Nullvektors infrage, also insgesamt [mm] 3^2-1=8 [/mm] Stück.
Schauen wir uns zunächst den von [mm] \green{\vektor{0\\1}} [/mm] erzeugten Unterraum an. In diesem liegen alle Vektoren der Gestalt [mm] \lambda*\vektor{0\\1} (\lambda\in \IZ_3^2).
[/mm]
Was ist da also drin? [mm] <\vektor{0\\1}>=\{ 0*\vektor{0\\1}, 1*\vektor{0\\1}, 2*\vektor{0\\1}\}=\{\green{\vektor{0\\0}, \vektor{0\\1},\vektor{0\\2}}\}.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{0,2} [/mm] spannt denselben Unterraum auf.
Für [mm] \blue{\vektor{1\\0}} [/mm] läuft das sehr ähnlich.
Der nächste ist [mm] \red{\vektor{1\\1}}. [/mm] Es ist [mm] <\red{\vektor{1\\1}}>=\{\vektor{0\\0},\red{\vektor{1\\1}, \vektor{2\\2}}\}
[/mm]
Nächster: [mm] \vektor{1\\2}. [/mm] Es ist [mm] <\vektor{1\\2}>=\{0*\vektor{1\\2}, 1*\vektor{1\\2}, 2*\vektor{1\\2}\}=\{\vektor{0\\0},\vektor{1\\2}, \vektor{2\\1\}\}.
[/mm]
Nun sind alle vektoren verbraucht.
Was hatten wir? [mm] 3^2 [/mm] Vektoren, aus denen man [mm] \bruch{3^2-1}{3-1} [/mm] verschiedene eindimensionale Vektorräume bauen konnte.
Studiere dieses Beispiel genau. Wenn Du es in allen Einzelheiten verstanden hast, kannst Du Dich über Aufgabe a) hermachen.
Gruß v. Angela
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