Bestimmung Rotationsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 So 30.12.2007 | | Autor: | battani |
Hallo,
ich versuche aus einer Reihe von Vektorpaaren (jeweils Quellvektor und Zielvektor) die zugehörige Rotationsmatrix zu bestimmen.
Beispiel:
[mm] p_i' = R * p_i ; \{i | 1 \ldots n\} [/mm]
Dies läßt sich für n [mm] \ge [/mm] 2 mit Singulärwertzerlegung (svd) lösen. Ich weiß leider nicht, wie man die svd hier anwendet.
Mit folgenden Beispielvektoren habe ich bislang experimentieret:
[mm] p_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}; p_1'= \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}
p_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}; p_2'= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}
p_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}; p_3'= \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
die Vektoren [mm] p_1, p_3 [/mm] und [mm] p_1', p_3' [/mm] sind linear abhängig. Daher führt der Ansatz
[mm] P' = R * P [/mm]
mit [mm] P' = \begin{pmatrix}
p_1' & p_2' & p_3'
\end{pmatrix} [/mm]
und [mm] P = \begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3
\end{pmatrix} [/mm]
umgestellt nach [mm] P' * P^{-1} = R [/mm] nicht zum Ziel.
Kann mir bitte jemand helfen, wie ich mit der Singulärwertzerlegung zu einer Lösung komme?
Vielen Dank im Voraus.
Josef
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Mit folgenden Beispielvektoren habe ich bislang
> experimentieret:
> [mm]p_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}; p_1'= \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}
p_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}; p_2'= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}
p_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}; p_3'= \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
wenn ich Dich recht verstehe, bist Du auf der Suche nach einer Rotation, welche [mm] p_i [/mm] in [mm] p_i' [/mm] überführt.
Den von Dir gegebenen Paaren [mm] (p_i, p_i') [/mm] entnehme ich, daß durch diese Rotation die y-Achse auf sich selbst abgebildet wird (i=1 und i=3), d.h. es ist
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ein Eigenvektor der Abbildung.
Das bedeutet, daß die Drehebene die xz-Ebene ist.
Es wird [mm] \begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix} [/mm] abgebildet auf [mm] \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix},
[/mm]
Und wenn ich mich jetzt nicht mit der Orientierung vertan habe, ist das eine Drehung um -90°.
Damit solltest Du die Rotationsmatrix aufstellen können.
> Kann mir bitte jemand helfen, wie ich mit der Singulärwertzerlegung zu einer Lösung komme?
Ich kann das aus dem Stand nicht.
Ich verlasse mich hier auf meinen Hausfrauenverstand.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:24 Mo 07.01.2008 | | Autor: | battani |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort. Der Ansatz mit dem Eigenvektor ist interessant. Bei dieser einfachen Abbildung ist der Eigenvektor gleich ersichtlich. Der Eigenvektor beschreibt die Rotationsachse. Damit läßt sich dann die Drehmatrix bestimmen.
Ich bin aber immer noch auf der Suche, wie man allgemein die Rotationsmatrix bestimmen kann. Also auch für Fälle, bei denen es nicht so einfach ersichtlich ist. Da muß ich mal nachdenken, wie man allgemein den Eigenvektor (zum Eigenwert 1) findet. Die zugehörige Abbildung ist ja noch nicht bekannt.
Bislang habe ich überlegt, wie ich mit folgende Überlegung die Drehachse allgemein bestimmen kann:
1. Ich bilde für jedes Vektorpaar die Strecke [mm] (p_i, p^{'}_i)
[/mm]
2. Ich bilde den Mittelpunkt der Strecke und Fälle das Lot zur Drehachse
3. Das Verhältnis der Strecke [mm] (p_i, p^{'}_i) [/mm] zur Länge des Lots muß für alle Punktepaare gleich sein.
4. Ich bringe diese Beziehungen in ein geeignettes Gleichungssystem und löse es.
Damit hätte ich ein allgemeines Verfahren, dass mit beliebigen Punktepaaren funktioniert.
Klingt kompliziert, oder?
Ich muß mal weiter über deinen Ansatz mit dem Eigenvektor nachdenken. Da gibt es bestimmt eine bessere Lösung, als die von mir beschriebene.
Gruß Josef
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> Ich bin aber immer noch auf der Suche, wie man allgemein
> die Rotationsmatrix bestimmen kann. Also auch für Fälle,
> bei denen es nicht so einfach ersichtlich ist. Da muß ich
> mal nachdenken, wie man allgemein den Eigenvektor (zum
> Eigenwert 1) findet. Die zugehörige Abbildung ist ja noch
> nicht bekannt.
Hallo,
wenn es sich um Drehungen, deren Achse um durch den Ursprung geht, handelt kannst Du es so machen:
Wenn Du die Werte auf einer Basis gegeben hast, steckst Du diese in eine Matrix M und bestimmst dann den Eigenvektor,
indem Du den Kern von [mm] M_E [/mm] berechnest.
Damit hast Du schonmal die Drehachse.
Jetzt kannst Du einen dazu senkrechten Vektor nehmen, sein Bild berechnen, und den Winkel zw. diesem Vektor und dem Bildvektor. Damit hast Du doch dann den Drehwinkel.
Jetzt noch eine kl. Basistransformation, und damit steht dann die Drehmatrix bzgl der kanonischen Basis.
Gruß v. Angela
>
> Bislang habe ich überlegt, wie ich mit folgende Überlegung
> die Drehachse allgemein bestimmen kann:
> 1. Ich bilde für jedes Vektorpaar die Strecke [mm](p_i, p^{'}_i)[/mm]
>
> 2. Ich bilde den Mittelpunkt der Strecke und Fälle das Lot
> zur Drehachse
> 3. Das Verhältnis der Strecke [mm](p_i, p^{'}_i)[/mm] zur Länge des
> Lots muß für alle Punktepaare gleich sein.
> 4. Ich bringe diese Beziehungen in ein geeignettes
> Gleichungssystem und löse es.
> Damit hätte ich ein allgemeines Verfahren, dass mit
> beliebigen Punktepaaren funktioniert.
>
> Klingt kompliziert, oder?
>
> Ich muß mal weiter über deinen Ansatz mit dem Eigenvektor
> nachdenken. Da gibt es bestimmt eine bessere Lösung, als
> die von mir beschriebene.
>
> Gruß Josef
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:48 Mi 09.01.2008 | | Autor: | battani |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich komme aber immer noch nicht dahinter, wie ich zur Matrix M komme. In der Regel (wie auch im Beispiel) ergeben die Vektoren [mm] (p_i, p^{'}_i) [/mm] 3 linear unabhängige Vektoren.
Ausnahme: alle Vektoren sind linear abhängig. In diesem Fall sind alle Punkte auf der Drehachse. Das bedeutet, der Drehwinkel kann nicht bestimmt werden.
Was bedeutet die Werte auf "eine Basis geben" und in eine Matrix M stecken?
Sorry, ich steh da irgendwie auf dem Schlauch.
Gruß
Josef
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> Ich komme aber immer noch nicht dahinter, wie ich zur
> Matrix M komme. In der Regel (wie auch im Beispiel) ergeben
> die Vektoren [mm](p_i, p^{'}_i)[/mm] 3 linear unabhängige Vektoren.
> Ausnahme: alle Vektoren sind linear abhängig. In diesem
> Fall sind alle Punkte auf der Drehachse. Das bedeutet, der
> Drehwinkel kann nicht bestimmt werden.
> Was bedeutet die Werte auf "eine Basis geben" und in eine
> Matrix M stecken?
> Sorry, ich steh da irgendwie auf dem Schlauch.
Hallo,
ich möchte hier ungern die linearen Abbildungen ab Adam und Eva aufrollen.
Deshalb will ich Dir nur einige Stichpunkte zu dem sagen, was ich schrieb, bzg. derer Du Dich dann per Literatur schlau machen kannst.
Ich betone: was ich schrieb, gilt für Drehungen um Achsen, die durch den Nullpunkt gehen, ich gehe also davon aus, daß das Koordinatensystem bereits entsprechend liegt.
- lineare Abbildungen sind durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt
- darstellende Matrix einer linearen Abbildung
- Basistransformation, Transformationsmatrizen
- Eigenwerte, Eigenvektoren
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 Sa 12.01.2008 | | Autor: | battani |
o.k. vielen Dank.
Gruß Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Do 17.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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