Bestimmung Real- Imaginärteil < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 14.02.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo,
ich schreibe am Donnerwtah eine Matheklausur .... beim üben bin ich an fogender Aufgabe gescheitert.
Ich weis einfach nicht, wie ich sie berechnen soll!
Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil:
[mm] u=(1-i\wurzel{3})^{12}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pisty!
> Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil:
> [mm]u=(1-i\wurzel{3})^{12}[/mm]
Du kannst dies' natürlich mit Hilfe des Pascal'schen Dreiecks ausmultiplizieren und anschließend Real- und Imaginarteil bestimmern.
Viel eleganter nd einfacher geht es über den Ansatz:
$z \ = \ a + i*b \ = \ |z| * [mm] \left[ \cos(\phi) + i*\sin(\phi) \right]$
[/mm]
mit: $|z| \ = \ [mm] \wurzel{a^2 + b^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\phi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a}$
[/mm]
Außerdem gilt: [mm] $z^n [/mm] \ = \ (a + [mm] i*b)^n [/mm] \ = \ [mm] |z|^n [/mm] * [mm] \left[ \cos(n*\phi) + i*\sin(n*\phi) \right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mo 14.02.2005 | | Autor: | pisty |
die sache ist, dass die Klausur ohne Taschenrechner geschrieben werden muss.
Hier mein Ansatz (ich denke dass ich den Anfang richtig mache, aber dann weis ich nicht weiter)
für z bekomme ich [mm] 2^{12} [/mm] heraus ... wie gehe ich weiter vor ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich weiß jetzt nicht, ob dir alles klar ist, daher fasse ich es noch einmal zusammen:
Die wichtigsten Werte für die Tangesfunktion wie
$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
und
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan(60°) = \sqrt{3}$
solltest du auswendig wissen (oder dir, wie Friedrich vorschlug, geometrisch klar machen)!
Daraus folgert du dann
$arg(1-i\sqrt{3}) = \arctan(-\sqrt{3}}) = -60° = - \frac{\pi}{3}$,
und daher:
$(1-i\sqrt{3})^{12} = \left(2 \cdot e^{i\cdot \frac{\pi}{3}}\right)^{12}$.
Der Rest sollt dann klar sein, denke ich mal... 
Viele Grüße
Stefan
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Hallo, pisti
wenn Dir noch bekannt ist daß im gleichseitigem 3eck, bequemerweise mit der Seitenlänge
s=1 die Höhe [mm] $h=\sqrt{3}/2$ [/mm] ist was ist dann der Tangens von 30°,
und
was ist dann der Winkel von $1 - [mm] \iota \sqrt{3}$ [/mm] was folgt damit für den der 12ten Potenz?
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