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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die Häufungspunkte,sowie lim inf und lim sup für folgende reelle Folgen:
[mm] a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{2n+1}, b_{n}=\bruch{n+(-1)^{n}(2n+1)}{n}, c_{n}=(-1)^{n}(2+\bruch{3}{n})
[/mm]
b) Man bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge [mm] c_{n}=i^{n}+\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Begründen Sie,warum die von Ihnen gefundenen Häufungspunkte die einzigen sind. |
Ich weiß gar nicht wie ich da vorgehen soll. Es wäre echt nett,wenn mir jemand helfen würde. Muss ich vielleicht zwischen n gerade und n ungerade unterscheiden??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mi 03.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a) Bestimmen Sie die Häufungspunkte,sowie lim inf und lim
> sup für folgende reelle Folgen:
> [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^{n}}{2n+1}, b_{n}=\bruch{n+(-1)^{n}(2n+1)}{n}, c_{n}=(-1)^{n}(2+\bruch{3}{n})[/mm]
>
> b) Man bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge
> [mm]c_{n}=i^{n}+\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
> Begründen Sie,warum die von Ihnen gefundenen
> Häufungspunkte die einzigen sind.
> Ich weiß gar nicht wie ich da vorgehen soll. Es wäre echt
> nett,wenn mir jemand helfen würde. Muss ich vielleicht
> zwischen n gerade und n ungerade unterscheiden??
Das hilft ungemein, der Folgenteil [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] geht ja für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0, also bleibt noch der Teil [mm] i^{n} [/mm] übrig. Und der kann welche Werte annehmen?
Marius
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Bedeutet das dann,dass [mm] i^{n}=-1 [/mm] ist für n gerade und für n ungerade [mm] \wurzel{-1} [/mm] oder [mm] -\wurzel{-1}??
[/mm]
Wie soll ich denn begründen,dass das die einzigen Häufungspunkte sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne doch einfach mal die ersten 4 (besser noch 5) Potenzen von i aus. und dann misch nicht die Schreibweise [mm] \wurzel{-1} [/mm] und i. wenn man mit komplexen Zahlen umgeht sollte man bei i bleiben.
bei dir fehlt eine mögliches Ergebnis für [mm] i^n
[/mm]
Wenn du die 4 verschiedenen Werte hast, musst du sagen a) dass sie HP sind, und b) dass eskeine weiteren gibt, weil es keine anderen Werte für [mm] i^n [/mm] gibt und der Realkteil nur einen HP hat.
Gruss leduart
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Ich habe nun folgende 4 Werte für [mm] i^{n} [/mm] raus:
[mm] i^{1}=i, i^{2}=-1, i^{3}=-i, i^{4}=1
[/mm]
Sind das jetzt auch meine Häufungspunkte? Wenn nicht wie erhalte ich diese?
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Hallo Studentin!
> Ich habe nun folgende 4 Werte für [mm]i^{n}[/mm] raus:
> [mm]i^{1}=i, i^{2}=-1, i^{3}=-i, i^{4}=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sind das jetzt auch meine Häufungspunkte?
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank für eure Hilfe. Jetzt habe ich den Aufgabenteil b) gelöst...doch ich habe noch Probleme mit a) denn ich kann den lim sup und lim inf nicht anwenden. Könnte vielleicht jemand mit mir zusammen diese Aufgabe für [mm] a_{n} [/mm] durchgehen?? Vielleicht schaffe ich ja [mm] b_{n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] dann alleine!
Muss ich jetzt [mm] a_{n} [/mm] auch in zwei Teilfolgen zerlegen,um die HP zu erhalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal [mm] |a_n| [/mm] an. Fällt Dir etwas auf ?
FRED
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Nee sorry,ich weiß grad gar nicht worauf du hinaus willst!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal [mm] |a_n| [/mm] hin !
FRED
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Du meinst doch jetzt einfach den Betrag von [mm] a_{n} [/mm] oder?
Also [mm] |a_{n}|=|\bruch{(-1)^{n}}{2n+1}| [/mm] und wie soll ich das jetzt weiter auflösen? Oder meinst du was anderes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Du meinst doch jetzt einfach den Betrag von [mm]a_{n}[/mm] oder?
> Also [mm]|a_{n}|=|\bruch{(-1)^{n}}{2n+1}|[/mm] und wie soll ich das
> jetzt weiter auflösen? Oder meinst du was anderes?
[mm]|a_{n}|=|\bruch{(-1)^{n}}{2n+1}|[/mm] = [mm] \bruch{1}{2n+1},
[/mm]
also ist [mm] (|a_n|) [/mm] eine Nullfolge. Was heißt das für [mm] (a_n) [/mm] ????
FRED
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Das heißt,dass 0 der HP von [mm] a_{n} [/mm] ist.
Und wie kriege ich lim inf und lim sup heraus??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Es gilt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|a_n|) [/mm] ist eine Nullfolge
FRED
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Das bezieht sich jetzt nicht auf meine Frage zum lim inf und lim sup oder??
Muss ich diese Äquivalenz beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Das bezieht sich jetzt nicht auf meine Frage zum lim inf
> und lim sup oder??
Natürlich ! Deine folge ist doch konvergent ! (gegen 0)
Das versuche ich Dir doch die ganze Zeit zzu vemitteln
> Muss ich diese Äquivalenz beweisen?
Nein. Das folgt doch sofort aus der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] n_0 [/mm] - Def. der Konvergenz.
FRED
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Also mein HP ist 0 und daher konvergieren lim inf und lim sup gegen 0. Daher gilt lim inf [mm] a_{n}=0 [/mm] und lim sup [mm] a_{n}=0. [/mm] Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Also mein HP ist 0 und daher konvergieren lim inf und lim
> sup gegen 0. Daher gilt lim inf [mm]a_{n}=0[/mm] und lim sup
> [mm]a_{n}=0.[/mm] Stimmt das so?
So in etwa.
Es ist lim [mm] a_n [/mm] = lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n [/mm] = 0
Es gilt folgender
SATZ: eine beschränkte Folge [mm] (a_n) [/mm] ist genau dann konvergent, wenn lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n. [/mm] In diesem Fall ist lim [mm] a_n [/mm] = lim sup [mm] a_n [/mm] = lim inf [mm] a_n
[/mm]
FRED
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Ist es richtig,dass der Häufungspunkt für [mm] b_{n} [/mm] 3 ist und für [mm] c_{n} [/mm] 2 ?
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> Ist es richtig,dass der Häufungspunkt für [mm]b_{n}[/mm] 3 ist und
> für [mm]c_{n}[/mm] 2 ?
Hallo,
es ist richtig, daß 3 ein Häufungspunkt von [mm] b_n [/mm] ist und 2 ein Häufungspunkt von [mm] c_n.
[/mm]
Du solltest aber scharf drüber nachdenken, ob das die einzigen häufungspunkte der Folgen sind.
Gruß v. Angela
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Stimmt. Ich hab jeweils einen HP vergessen. Ich hab nämlich n=ungerade nicht berechnet. Dankeschön!
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