Bestimmung Extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion: f(x,y)= [mm] (x^2 +y^2)^2 [/mm] +8xy |
hey,
um die notwendige Bedingung zu erfüllen muss [mm] f_{x}(x,y) [/mm] = 0 und [mm] f_{y}(x,y) [/mm] = 0 sein. Ich habe nun die Ableitungen nach x,y bestimmt.
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] 4x*(x^2+y^2)+8y
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] 4y*(x^2+y^2)+8x
[/mm]
Nun zu meiner Frage bzw. zu meinem Problem ich kann diese beiden Gleichungen nicht gleich Null setzen und dann auflösen egal mit welchem Verfahren ich komme einfach nicht weiter.
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion: f(x,y)= [mm](x^2 +y^2)^2[/mm]
> +8xy
> hey,
>
> um die notwendige Bedingung zu erfüllen muss [mm]f_{x}(x,y)[/mm] =
> 0 und [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = 0 sein. Ich habe nun die Ableitungen
> nach x,y bestimmt.
>
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = [mm]4x*(x^2+y^2)+8y[/mm]
>
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = [mm]4y*(x^2+y^2)+8x[/mm]
>
> Nun zu meiner Frage bzw. zu meinem Problem ich kann diese
> beiden Gleichungen nicht gleich Null setzen und dann
> auflösen egal mit welchem Verfahren ich komme einfach
> nicht weiter.
Was hast Du denn probiert ?
Du hast also die Gleichungen
(1) [mm]x*(x^2+y^2)+2y=0[/mm]
und
(2) [mm]y*(x^2+y^2)+2x=0[/mm]
Fall 1: x=0 oder y=0. (1) und (2) liefern die stationäre Stelle (0,0)
Fall 2: x [mm] \ne [/mm] 0 und y [mm] \ne [/mm] 0, also [mm] x^2+y^2>0. [/mm] Löse (1) und (2) jeweils nach [mm] x^2+y^2 [/mm] auf.
Das liefert Dir (nachrechnen !) : [mm] x^2=y^2.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
>
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> Viele Grüße
>
> Marcel
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
wenn ich Fall zwei betrachte und Nummer Eins also die erste Ableitung nach x, nach [mm] x^2+y^2 [/mm] auflöse komme ich auf:
[mm] x^2+y^2=-\bruch{2y}{x}
[/mm]
somit komme ich leider nicht auf
[mm] x^2+y^2 [/mm] = 0
bzw.
[mm] x^2 =y^2 [/mm] (müsste es dann nicht auch [mm] x^2 [/mm] = [mm] -y^2 [/mm] heißen?)
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> hey,
>
> wenn ich Fall zwei betrachte und Nummer Eins also die erste
> Ableitung nach x, nach [mm]x^2+y^2[/mm] auflöse komme ich auf:
>
> [mm]x^2+y^2=-\bruch{2y}{x}[/mm]
>
> somit komme ich leider nicht auf
>
> [mm]x^2+y^2[/mm] = 0
Ich auch nicht !!!
>
> bzw.
>
> [mm]x^2 =y^2[/mm] (müsste es dann nicht auch [mm]x^2[/mm] = [mm]-y^2[/mm] heißen?)
>
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Aus der ersten Gl. folgt:
[mm]x^2+y^2=-\bruch{2y}{x}[/mm]
und aus der zweiten:
[mm]x^2+y^2=-\bruch{2x}{y}[/mm]
Also ist [mm] \bruch{2y}{x}=\bruch{2x}{y} [/mm] und somit [mm] x^2=y^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
soweit kann ich folgen, aber was nun? [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] bedeutet ja nichts anderes als y = x (für [mm] x\ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 sofern man mal nur vom reellen Zahlenraum ausgeht).
Nur was bedeutet das für meine Funktionsuntersuchung weil theoretisch bedeutet das ja unendlich viele Lösungen oder?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 09.08.2013 | | Autor: | abakus |
> hey,
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> soweit kann ich folgen, aber was nun? [mm]y^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] bedeutet ja
> nichts anderes als y = x (für [mm]x\ge[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0 sofern
Hallo,
es bedeutet [mm]y=\pm x[/mm] .
Somit kannst du die gegebene Funktiongleichung (mit 2 Variablen) dahingehend vereinfachen, dass du y fallweise durch x bzw. -x ersetzt und eine Extremwertberechnung für diese Funktion mit nur noch einer Variablen durchführst.
Gruß Abakus
> man mal nur vom reellen Zahlenraum ausgeht).
> Nur was bedeutet das für meine Funktionsuntersuchung
> weil theoretisch bedeutet das ja unendlich viele Lösungen
> oder?
Nein.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
das würde bedeuten ich betrachte einmal den Fall: [mm] x(x^2+x^2)+2x [/mm] = 0
für den ersten Fall bekomme ich x=0 und [mm] x^2=-1 [/mm] (was mich nicht weitere interessieren muss da ich ja nur den reelen Zahlenraum betrachte)
und [mm] x(x^2+x^2)-2x [/mm] =0
für den zweiten Fall bekomme ich [mm] x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1 [/mm] raus.
sind somit alle drei (x1,x2,x3) mögliche Extremstellen? Weil ansich erfüllt nur x = 0 beide Gleichungen. (Ich habe ein bisschen den Überblick verloren)
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Fr 09.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die Punkte (x,y) die du mit deinen x bekommst ansehen, erfüllen die beide Gleichungen?
die x alleine ja nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
es kommen also folgende Punkte als mögliche Extremstellen in Frage:
(0,0); (1,1); (-1,-1)
stimmt das?
Dann hätte ich ein Problem, keiner genannten Punkte erfüllt die hinreichende Bedingung.
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel88,
> hey,
>
> es kommen also folgende Punkte als mögliche Extremstellen
> in Frage:
>
> (0,0); (1,1); (-1,-1)
>
Hier meinst Du wohl:
[mm]\left(0,0\right), \ \left(\blue{-}1,1\right), \ \left(-1,\blue{+}1\right)[/mm]
> stimmt das?
>
> Dann hätte ich ein Problem, keiner genannten Punkte
> erfüllt die hinreichende Bedingung.
>
Dann muss die Art dieser Extrema
auf anderem Wege ermittelt werden.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Fr 09.08.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion: f(x,y)= [mm](x^2 +y^2)^2[/mm] +8xy
Hallo,
hier kann man auch mit Polarkoordinaten arbeiten. Man erhält [mm]f(r,\phi)=r^4+8*r^2*cos(\phi)*sin(\phi)=r^4+4r^2*sin(2\phi)[/mm].
Gruß Abakus
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