Bestimmung Determinante n×n < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Folgende nxn Matrix ist gegeben zur BErechnung der det
[mm] \pmat{ 2 &1&1&...&...&1\\ 1&2&1&...&...&1\\1&1&2&...&...&1 \\ 1 & 1&1&...&...&1\\...&...&...&...&...&...\\1&...&...&1&2&1\\1&...&...&1&1&2 } [/mm] |
So bei folgender Matrix habe ich einfach mal für n=4,5,6 die Determinanten bestimmt und bekomme jeweils für ein höheres n eine Determinante +1
n=4 det=5 n=5 det=6.
Die Diagonalen haben alle die 2, ansonsnte 1.
Wie gebe ich denn hier nun die Determinante an ? *grübel*
Oder liege ich vielleicht auch komplett falsch mit meinem Versuch ein Schema zu erkennen ?
lg
Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuchs mal so. Subtraktion der zweiten von der ersten Spalte und anschließende Entwicklung nach der ersten Spalte. Dann kommst Du auf eine Rekursionsformel für die Determinate bzgl. der Dimension n. Die kannst Du explizit ausrechnen und erhälst als Ergebnis, wenn A die Matrix ist
det(A)=n+1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Coup |
hi ullim,
also liege ich garnicht so falsch mit meiner Behauptung das die Determinante n+1 ist. Und den BEweis dafür liefere ich dann am besten durch die Erklärung mit der Subraktion ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Fr 31.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Annahme, das die Determinante mit der Dimension steigt, stimmt. Den Beweis musst Du aber noch im Detail führen. Also die Spaltensubtraktion ausführen und dann weiter rechnen. Das Ergebnis ist auf Matrizen der Form
[mm] A=\pmat{ a & b & .&.&. & b & b \\ b & a & .&.&. & b & b \\ . & . & .&.&. & . & . \\ . & . & .&.&. & . & . \\ . & . & .&.&. & . & . \\ b & b & .&.&. & a & b \\ b & b & .&.&. & b & a } [/mm] erweiterbar mit dem Ergebnis [mm] (a-b)^{n-1}*[a+(n-1)*b]
[/mm]
Für a=2 und b=1 folgt das Ergbnis für Deinen Spezialfall.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Coup |
okay danke ullim, dann werde ich mal versuchen das verständlich aufs Blatt zu bringen.
liebe Grüße und guten Rutsch : )
Flo
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