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| Aufgabe | Berechnen Sie das bestimmte Integral
[mm]\integral^{1}_{0}{\bruch{18x^{3}}{\wurzel{6x^{2}+3}}dx}[/mm]
Substituieren Sie den Radikanten. |
Hallo Leute,
Hier habe ich großes Problem. Ich komme überhaupt nicht weiter.
Also Ich verwende die Substitutionsmethode und ersetze den Radikanten:
[mm]u=6x^{2}+3[/mm]
[mm]\bruch{du}{dx}=12x[/mm]
Dann forme ich nach dx um:
[mm]dx=\bruch{du}{12x}[/mm]
Setze nun u und dx in das Integral ein:
[mm]\integral^{1}_{0}{\bruch{18x^{3}}{\wurzel{u}}\bruch{du}{12x}}[/mm]
Kürze x gegen [mm] x^3 [/mm] und 18 gegen 12 und ziehe die multiplikativen konstanten vor das integral
[mm]\bruch{3}{2}\integral^{1}_{0}{\bruch{x^{2}}{\wurzel{u}}du}[/mm]
Und ab da weiss ich nun überhaupt nicht mehr, was Sache ist.
Frage 1: Ist der Gedanke bis hier hin richtig?
Frage 2: Ist Substitutuion überhaupt der richtige weg?
Frage 3: Wie geht es weiter?
Vielen Dank für die Hilfe im Voraus
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Hallo Serhat,
> Berechnen Sie das bestimmte Integral
> [mm]\integral^{1}_{0}{\bruch{18x^{3}}{\wurzel{6x^{2}+3}}dx}[/mm]
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> Substituieren Sie den Radikanten.
> Hallo Leute,
>
> Hier habe ich großes Problem. Ich komme überhaupt nicht
> weiter.
> Also Ich verwende die Substitutionsmethode und ersetze den
> Radikanten:
>
> [mm]u=6x^{2}+3[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=12x[/mm]
>
> Dann forme ich nach dx um:
>
> [mm]dx=\bruch{du}{12x}[/mm]
>
> Setze nun u und dx in das Integral ein:
>
> [mm]\integral^{1}_{0}{\bruch{18x^{3}}{\wurzel{u}}\bruch{du}{12x}}[/mm]
> Kürze x gegen [mm]x^3[/mm] und 18 gegen 12 und ziehe die
> multiplikativen konstanten vor das integral
>
> [mm]\bruch{3}{2}\integral^{1}_{0}{\bruch{x^{2}}{\wurzel{u}}du}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
fast perfekt bis hierhin - du musst an die Grenzen denken, entweder substituierst du die mit oder löst zuerst das unbestimmte Integral ohne Grenzen, resubstituierst dann und nimmst die alten Grenzen
Zur Umrechnung der Grenzen: die untere war x=0, das gibt mit der Substitution [mm] u=6x^2+3, [/mm] also [mm] u=6\cdot{}0^2+3=3
[/mm]
Analog für die obere Grenze...
>
> Und ab da weiss ich nun überhaupt nicht mehr, was Sache
> ist.
> Frage 1: Ist der Gedanke bis hier hin richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Frage 2: Ist Substitutuion überhaupt der richtige weg?
> Frage 3: Wie geht es weiter?
Ich mach's ohne die Grenzen, so dass du am Schluss resubstituieren musst und die alten Grenzen nehmen musst...
Mit der Substitution [mm] $u:=6x^2+3$ [/mm] ist doch, wenn du's umstellst: [mm] $x^2=\frac{u-3}{6}$
[/mm]
Also hast du das Integral [mm] $\bruch{3}{2}\integral{\bruch{x^{2}}{\wurzel{u}}du}=\bruch{3}{2}\integral{\bruch{\bruch{u-3}{6}}{\wurzel{u}}du}=\bruch{1}{4}\integral{\bruch{u-3}{\wurzel{u}}du}$
[/mm]
Nun das Integral als Summe zweier Integrale schreiben, die du bestimmt locker lösen kannst.
> Vielen Dank für die Hilfe im Voraus
LG
schachuzipus
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Hallo Schauzipus,
danke für die Idee, genau die Info hat mir gefehlt gehabt.
Nun der vollständigkeitshalbe der Rest meiner Lösung:
[mm]\bruch{1}{4}(\integral{\bruch{u}{\wurzel{u}}}-3\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}}})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{4}(\integral{\bruch{\wurzel{u}\wurzel{u}}{\wurzel{u}}}-3\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}}})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{4}(\integral{\wurzel{u}}-3\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}}})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{4}(\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}-3\cdot 2\cdot \wurzel{u})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{4}(\bruch{2}{3}\wurzel{u}\cdot u - 6\wurzel{u})[/mm]
[mm]=\bruch{1}{6}\wurzel{u}\cdot u-\bruch{3}{2}\wurzel{u}[/mm]
u wieder rücksubstituiert, ein wenig umgeformt und zusammengefasst:
[mm]=(x^{2}-1)\wurzel{6x^{2}+3}[/mm]
Jetzt habe ich keine Lust mehr zu tippen, aber man müsste nur noch die Grenzen einsetzen und das Integral ausrechnen und FERTIG
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