Bestimmtes Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 16.09.2008 | | Autor: | RENE85 |
| Aufgabe | | [mm] \int_{0}^{1} x^5\wurzel{1+x^3}\, [/mm] dx |
Moin, bräuchte hier mal nen Ansatz.
Mit Partieller brauch ich ja ewig bis die [mm] x^5 [/mm] weg sind und die wurzel wird dann immer schlimmer. Irgendwas zu kürzen hab ich auch nicht gefunden.
Wäre also über nen kleinen Anstoß sehr dankbar. ;)
lg
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> [mm]\int_{0}^{1} x^5\wurzel{1+x^3}\,[/mm] dx
> Moin, bräuchte hier mal nen Ansatz.
> Mit Partieller brauch ich ja ewig bis die [mm]x^5[/mm] weg sind und
> die wurzel wird dann immer schlimmer. Irgendwas zu kürzen
> hab ich auch nicht gefunden.
> Wäre also über nen kleinen Anstoß sehr dankbar. ;)
>
> lg
Ich würde mal die Substitution [mm] 1+x^3=u [/mm] vorschlagen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 16.09.2008 | | Autor: | RENE85 |
| Aufgabe | | [mm] \int_{0}^{1} x^5\wurzel{x^3+1}\, [/mm] dx |
Erstmal danke für den Tip. ;)
Hab das soweit mal versucht.
[mm] u=x^3+1 [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=3x^2 [/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{3x^2}
[/mm]
[mm] \int_{0}^{1} x^5\wurzel{u}\, \bruch{du}{3x^2}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] kürzen und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] vors integral ziehen.
[mm] \bruch{1}{3}\int_{0}^{1} x^3\wurzel{u}\, [/mm] du
[mm] x^3=u-1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\int_{0}^{1} (u-1)\wurzel{u}\, [/mm] du
Jetzt habe ich partiell weitergemacht.
U=(u-1) und [mm] V'=\wurzel{u}
[/mm]
U'=1 und [mm] V=\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}[(u-1)*\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}-\bruch{2}{3}\int_{0}^{1} u^{\bruch{3}{2}}\, [/mm] du ]
[mm] \bruch{1}{3}[(u-1)*\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}-\bruch{2}{3}*\bruch{2}{5}u^{\bruch{5}{2}}]
[/mm]
Rücksubstitoiert:
[mm] \bruch{1}{3}[x^3*\bruch{2}{3}(x^3+1)^{\bruch{3}{2}}-\bruch{4}{15}(x^3+1)^{\bruch{5}{2}}]
[/mm]
Wenn ich jetzt x=1 bzw x=0 einsetzt um das bestimmte integral zu lösen komm ich auf 1,62... was irgendwie nicht sein kann.
Findet jemand den Fehler oder hab ich generell müll fabriziert? :D
lg
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Hallo Rene!
Ich würde hier die Klammer [mm] $(u-1)*\wurzel{u}$ [/mm] ausmultiplizieren und auf die partielle Integration verzichten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 16.09.2008 | | Autor: | RENE85 |
oh man... na logisch :)
ich bin da echt noch etwas blind manchmal.
also wird aus
[mm] \bruch{1}{3}\int_{0}^{1} (u-1)\wurzel{u}\, [/mm] du
[mm] \bruch{1}{3}[\int_{0}^{1} u^{\bruch{3}{2}}\, [/mm] du - [mm] \int_{0}^{1} \wurzel{u}\, [/mm] du ]
[mm] \bruch{1}{3}[\bruch{2}{5}u^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}]
[/mm]
[mm] \bruch{2}{15}u^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{9}u^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
rücksubstituieren:
[mm] \bruch{2}{15}(x^3+1)^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{9}(x^3+1)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
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Hallo Rene,
> oh man... na logisch :)
> ich bin da echt noch etwas blind manchmal.
>
> also wird aus
> [mm]\bruch{1}{3}\int_{0}^{1} (u-1)\wurzel{u}\,[/mm] du
> [mm]\bruch{1}{3}[\int_{0}^{1} u^{\bruch{3}{2}}\,[/mm] du -
> [mm]\int_{0}^{1} \wurzel{u}\,[/mm] du ]
Achtung mit den Grenzen! Entweder substituierst du die mit:
[mm] $x=0\Rightarrow u=x^3+1=0^3+1=1$
[/mm]
[mm] $x=1\Rightarrow u=1^3+1=2$
[/mm]
oder du schreibst es komplett ohne Grenzen, rechnest das unbestimmte Integral in u aus, resubstituierst und setzt die "alten Grenzen in x" ein
>
> [mm]\bruch{1}{3}[\bruch{2}{5}u^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}][/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{15}u^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{9}u^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> rücksubstituieren:
>
> [mm]\bruch{2}{15}(x^3+1)^{\bruch{5}{2}}-\bruch{2}{9}(x^3+1)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht sehr gut aus, nun noch die Grenzen einsetzen und fertig ist die Laube...
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Di 16.09.2008 | | Autor: | RENE85 |
super, habs geblickt.
dann nochmal danke an alle die mir hier geholfen haben!!
lg
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Hallo RENE85,
> [mm]\int_{0}^{1} x^5\wurzel{x^3+1}\,[/mm] dx
> Erstmal danke für den Tip. ;)
> Hab das soweit mal versucht.
>
> [mm]u=x^3+1[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}=3x^2[/mm]
> [mm]dx=\bruch{du}{3x^2}[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{1} x^5\wurzel{u}\, \bruch{du}{3x^2}[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] kürzen und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] vors integral ziehen.
>
> [mm]\bruch{1}{3}\int_{0}^{1} x^3\wurzel{u}\,[/mm] du
>
> [mm]x^3=u-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}\int_{0}^{1} (u-1)\wurzel{u}\,[/mm] du
>
> Jetzt habe ich partiell weitergemacht.
> U=(u-1) und [mm]V'=\wurzel{u}[/mm]
> U'=1 und [mm]V=\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[(u-1)*\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}-\bruch{2}{3}\int_{0}^{1} u^{\bruch{3}{2}}\,[/mm]
> du ]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[(u-1)*\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2}}-\bruch{2}{3}*\bruch{2}{5}u^{\bruch{5}{2}}][/mm]
>
> Rücksubstitoiert:
>
> [mm]\bruch{1}{3}[x^3*\bruch{2}{3}(x^3+1)^{\bruch{3}{2}}-\bruch{4}{15}(x^3+1)^{\bruch{5}{2}}][/mm]
>
> Wenn ich jetzt x=1 bzw x=0 einsetzt um das bestimmte
> integral zu lösen komm ich auf 1,62... was irgendwie nicht
> sein kann.
Die Stammfunktion hast Du richig ausgerechnet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Fehler ist wohl beim Einsetzen von x=1 bzw. x=0 passiert.
> Findet jemand den Fehler oder hab ich generell müll
> fabriziert? :D
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Di 16.09.2008 | | Autor: | RENE85 |
Ah, ok. Das kann sein. Danke fürs kontrollieren. ;)
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