Bestimmte Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{2}^{1}{ \bruch{dx}{(x+2)^{2}} } [/mm] |
Guten Tag!
Ja ich hänge bei einem Problem, ich würde wie folgt weiter rechnen:
[mm] \integral_{2}^{1}{ \bruch{1}{x^2+4x+2} dx }
[/mm]
Und da wir wissen dass die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gleich ln(x) ist, habe ich dann:
[mm] ln(x^2+4x+2) [/mm] genommen.
Aber anscheinend ist das falsch, laut Musterlösung kommt da : [mm] (x+2)^{-2}
[/mm]
Bitte um hilfe, danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]\integral_{2}^{1}{ \bruch{dx}{(x+2)^{2}} }[/mm]
Du meinst:
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{dx}{(x+2)^{2}} }
[/mm]
> Guten Tag!
>
> Ja ich hänge bei einem Problem, ich würde wie folgt
> weiter rechnen:
> [mm]\integral_{2}^{1}{ \bruch{1}{x^2+4x+2} dx }[/mm]
Die Umformung ist nicht richtig, aber auch wenn sie richtig wäre, würde sie dir nichts viel bringen.
Siehe Fred's Antwort 
> Und da wir
> wissen dass die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gleich ln(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist, habe ich dann:
> [mm]ln(x^2+4x+2)[/mm] genommen.
Deine Idee ist gut, aber nicht zu Ende gedacht.
Angenommen, du hättest [mm] F(x)=\ln((x+2)^2)+C [/mm] gesetzt, dann gilt:
[mm] \frac{d}{dx}ln((x+2)^2)=\frac{1}{(x+2)^2}*\frac{d}{dx}(x+2)^2=\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}=\frac{2}{x+2}
[/mm]
- oder alternativ:
[mm] F(x)=\ln((x+2)^2)=2\ln(x+2)\Rightarrow \frac{dF}{dx}=\frac{2}{x+2}
[/mm]
Die $2$ stört hier, aber du kannst das verbessern!
Wie kannst du deine Stammfunktion setzen, damit es klappt?
> Aber anscheinend ist das falsch, laut Musterlösung kommt
> da : [mm](x+2)^{-2}[/mm]
Diese Musterlösung will dir nicht das Ergebnis verraten.
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.
Die Musterlösung gibt dir einen Äquivalenz deiner Funktion,
womit das Bilden der Stammfunktion einfach ist.
Es gilt:
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{dx}{(x+2)^{2}} }=\integral_{1}^{2}{(x+2)^{-2} dx}
[/mm]
Das ist nun einfach zu integrieren
>
> Bitte um hilfe, danke
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Ja klar sorry hab falsch abgetippt..Ist [mm] x^2 [/mm] +4x + 4
Aber die Aufgaben stellung lautet wirklich: [mm] \integral_{2}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
So nun aber zum Problem..
Ich könnte ja [mm] ln(x^2+4x+4) \integral_{2}^{1}{f(x) dx} [/mm] jetzt ausrechnen,in dem ich für x jetzt die Werte einsetze, natürlich additioniert da die obere Grenze ja kleiner ist als die untere, bekomm da halt aber nen anderes Resultat.
Verstehe nicht WIESO mein Lösungsweg falsch ist.
Hier die Musterlösung:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
lG
Danke für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja klar sorry hab falsch abgetippt..Ist [mm]x^2[/mm] +4x + 4
> Aber die Aufgaben stellung lautet wirklich:
> [mm]\integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> So nun aber zum Problem..
>
> Ich könnte ja [mm]ln(x^2+4x+4) \integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> jetzt ausrechnen,in dem ich für x jetzt die Werte
> einsetze, natürlich additioniert da die obere Grenze ja
> kleiner ist als die untere, bekomm da halt aber nen anderes
> Resultat.
>
> Verstehe nicht WIESO mein Lösungsweg falsch ist.
Weil, und das hat die Acht Dir schon gesagt, [mm] ln(x^2+4x+4) [/mm] keine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{(x+2)^2} [/mm] ist.
Das sieht man, wenn man [mm] ln(x^2+4x+4) [/mm] differenziert und die Kettenregel beherzigt !
FRED
>
> Hier die Musterlösung:
> [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
>
> lG
> Danke für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
Aber die Stammfunktion von 1/x ist ln(x) also kann ich für x egal was einsetzen, auch meine Funktion..
lG
|
|
|
| |
|
Hallo, dagegen hat doch (fast) niemad etwas, es fehlen aber die Betragsstriche, du hast aber eine andere Funktion, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber die Stammfunktion von 1/x ist ln(x) also kann ich für
> x egal was einsetzen, auch meine Funktion..
Das ist doch Unsinn !
Genauso wie das unsinnig ist :
" die Ableitung von x ist 1, also kann ich für x egal was einsetzen, auch die Funktion [mm] x^2".
[/mm]
Siehst Du nun Deinen Denkfehler ?
FRED
>
> lG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Es gilt:
[mm] \ln'(x)=\frac{1}{x}*(x)'
[/mm]
Das Ende ist sehr wichtig!
Vielleicht wird dir nun klar, dass du das nicht immer machen kannst!
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch was:
[mm] $(\ln(f(x))'=\bruch{f'(x)}{f(x)}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Ja klar sorry hab falsch abgetippt..Ist [mm] x^2 [/mm] +4x + 4
Aber die Aufgaben stellung lautet wirklich: [mm] \integral_{2}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
So nun aber zum Problem..
Ich könnte ja [mm] ln(x^2+4x+4) \integral_{2}^{1}{f(x) dx} [/mm] jetzt ausrechnen,in dem ich für x jetzt die Werte einsetze, natürlich additioniert da die obere Grenze ja kleiner ist als die untere, bekomm da halt aber nen anderes Resultat.
Verstehe nicht WIESO mein Lösungsweg falsch ist.
Hier die Musterlösung:
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
lG
Danke für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja klar sorry hab falsch abgetippt..Ist [mm]x^2[/mm] +4x + 4
> Aber die Aufgaben stellung lautet wirklich:
> [mm]\integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> So nun aber zum Problem..
>
> Ich könnte ja [mm]ln(x^2+4x+4) \integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> jetzt ausrechnen,in dem ich für x jetzt die Werte
> einsetze, natürlich additioniert da die obere Grenze ja
> kleiner ist als die untere, bekomm da halt aber nen anderes
> Resultat.
>
> Verstehe nicht WIESO mein Lösungsweg falsch ist.
https://matheraum.de/read?i=1001920
FRED
>
> Hier die Musterlösung:
> Link-Text
>
> lG
> Danke für eure Antworten!
|
|
|
| |
|
> Ja klar sorry hab falsch abgetippt..Ist [mm]x^2[/mm] +4x + 4
> Aber die Aufgaben stellung lautet wirklich:
> [mm]\integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> So nun aber zum Problem..
>
> Ich könnte ja [mm]ln(x^2+4x+4) \integral_{2}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> jetzt ausrechnen,in dem ich für x jetzt die Werte
> einsetze, natürlich additioniert da die obere Grenze ja
> kleiner ist als die untere, bekomm da halt aber nen anderes
> Resultat.
Ich verstehe kein Wort...
> Verstehe nicht WIESO mein Lösungsweg falsch ist.
Weil du der Meinung bist, dass alles in Bruchform als Stammfunktion den $ln$ ergibt.
Recht hast du damit, dass:
[mm] \int_{}^{}{\frac{1}{x} dx}=ln(|x|)[/mm]
ist.
Allerdings unterscheidet sich deine Aufgabe davon.
Du hast nämlich eine Quadratische Funktion im Nenner.
Du könntest hier auch per Substitution integrieren.
[mm] \int_{}^{}{\frac{1}{(x+2)^2} dx}=\int_{}^{}{\frac{1}{u^2} du}[/mm]
wobei ich $u=x+2$ gesetzt habe.
Dies kannst du nun ganz einfach ohne besondere Dinge machen zu müssen integrieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Du und DieAcht habt nicht achtgegeben:
[mm] x^2+4x+4=(x+2)^2 \ne x^2+4x+2
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Du und DieAcht habt nicht achtgegeben:
>
> [mm]x^2+4x+4=(x+2)^2 \ne x^2+4x+2[/mm]
>
> FRED
Danke für's Aufpassen!
Habs geändert.
DieAcht
|
|
|
|
![[]](http://picload.org/image/lglorli/dad.png){kind=small}
Link-Text