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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{2}x^{3}-3x^{2}+4x
[/mm]
Eine Parabel zweiter Ordnung verläuft durch den Ursprung und schneidet f(x) in P(2|0) senkrecht. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. |
'n Abend :)
Ich weiß also, dass [mm] g(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] gesucht ist, durch (0|0) und (2|0) geht. Der Hoch- bzw. Tiefpunkt liegt also bei (1|y). Da ich mir f(x) habe zeichnen lassen, weiß ich das die Steigung von g(x) positiv sein muss.
Wenn ich nun also P einsetze, erhalte ich die Gleichung
0=4a+2b
Wie bestimme ich denn aber jetzt die Gleichung? Mit (0|0) kann ich ja nicht wirklich weiter rechnen.
Und was genau sagt mir das "senkrecht schneiden"? Vermutlich komme ich nur hierüber an die Lösung oder?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo shaker.fish,
> Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{2}x^{3}-3x^{2}+4x[/mm]
>
> Eine Parabel zweiter Ordnung verläuft durch den Ursprung
> und schneidet f(x) in P(2|0) senkrecht. Bestimmen Sie die
> Gleichung der Parabel.
> 'n Abend :)
>
> Ich weiß also, dass [mm]g(x)=ax^{2}+bx+c[/mm] gesucht ist, durch
> (0|0) und (2|0) geht. Der Hoch- bzw. Tiefpunkt liegt also
> bei (1|y). Da ich mir f(x) habe zeichnen lassen, weiß ich
> das die Steigung von g(x) positiv sein muss.
>
> Wenn ich nun also P einsetze, erhalte ich die Gleichung
> 0=4a+2b
>
> Wie bestimme ich denn aber jetzt die Gleichung? Mit (0|0)
> kann ich ja nicht wirklich weiter rechnen.
Mit dem Ursprung hast Du schon mal das "c" festgelegt.
> Und was genau sagt mir das "senkrecht schneiden"?
Nun, für zwei Geraden, die sich senkrecht schneiden, gilt:
[mm]m_{1}*m_{2}=-1[/mm]
, wobei [mm]m_{1}[/mm] die Steigung der 1. Geraden
und [mm]m_{2}[/mm] die Steigung der 2. Geraden bedeuten.
> Vermutlich komme ich nur hierüber an die Lösung oder?
Ja.
>
> Danke für eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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Also dann ist c=0.
Heißt das mit den zwei Geraden dann also, dass die Steigung von f(x) mal die Steigung von g(x) (die wir ja noch nicht haben) =-1 ist?
Das hieße also [mm] \bruch{1}{2}*a=-1 [/mm] -> a=-2.
g(x)= [mm] -2x^{2}+bx
[/mm]
-> 0=4*-2+2b -> b=4
Endergebnis: g(x)= [mm] -2x^{2}+4x
[/mm]
Richtig?
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Hallo shaker.fish,
> Also dann ist c=0.
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> Heißt das mit den zwei Geraden dann also, dass die
> Steigung von f(x) mal die Steigung von g(x) (die wir ja
> noch nicht haben) =-1 ist?
Ja, das ist richtig.
>
> Das hieße also [mm]\bruch{1}{2}*a=-1[/mm] -> a=-2.
Die Steigung von f im Punkt (2,0) ist nicht [mm]\bruch{1}{2}[/mm].
>
> g(x)= [mm]-2x^{2}+bx[/mm]
> -> 0=4*-2+2b -> b=4
>
> Endergebnis: g(x)= [mm]-2x^{2}+4x[/mm]
> Richtig?
Leider nein.
Gruss
MathePower
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Hmm...
Ich brauche also die erste Ableitung, weil da dann die Steigung enthalten ist, die ich zum Berechnen brauche, oder?
f'(x)= [mm] \bruch{3}{2}x^{2}-6x+4
[/mm]
Wäre [mm] \bruch{3}{2} [/mm] dann also [mm] m_{1}?
[/mm]
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Hallo shaker.fish,
> Hmm...
>
> Ich brauche also die erste Ableitung, weil da dann die
> Steigung enthalten ist, die ich zum Berechnen brauche,
> oder?
>
> f'(x)= [mm]\bruch{3}{2}x^{2}-6x+4[/mm]
>
> Wäre [mm]\bruch{3}{2}[/mm] dann also [mm]m_{1}?[/mm]
Nein.
Setze in f' für x=2 ein, und Du erhältst die Steigung in (2,0)
Gruss
MathePower
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Okay.
Das heißt
f'(2)= -2 = [mm] m_{1}
[/mm]
-2*a=-1
a= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
0= [mm] \bruch{1}{2}*4+b*2
[/mm]
b=-1
Dann ist g(x)= [mm] \bruch{1}{2}x^{2}-x?
[/mm]
Sorry übrigens, dass ich hier von überhaupt keine Ahnung habe ;)
Danke dir, dass du dir die Mühe machst mir zu helfen!
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Hallo shaker.fish,
> Okay.
> Das heißt
> f'(2)= -2 = [mm]m_{1}[/mm]
>
> -2*a=-1
> a= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Dasselbe gilt natüürlich für die unbekannte Parabel:
Hier ist [mm]g'\left(2\right)=2*a*2+b=4*a+b[/mm]
Dann lautet die Bedingung
[mm]\left(-2\right)*\left(4*a+b\right)=-1[/mm]
Und jetzt kannst Du das Gleichungssystem
[mm]\left(-2\right)*\left(4*a+b\right)=-1[/mm]
[mm]4*a+2*b=0[/mm]
lösen.
>
> 0= [mm]\bruch{1}{2}*4+b*2[/mm]
> b=-1
>
> Dann ist g(x)= [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-x?[/mm]
>
> Sorry übrigens, dass ich hier von überhaupt keine Ahnung
> habe ;)
> Danke dir, dass du dir die Mühe machst mir zu helfen!
Gruss
MathePower
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So, also nach langer Rechnung und Bemühen und ordentlichem Aufschreiben :P
[mm] a=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] b=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Bitte lass es richig sein... ;D
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Hallo shaker.fish,
> So, also nach langer Rechnung und Bemühen und ordentlichem
> Aufschreiben :P
>
> [mm]a=\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]b=-\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bitte lass es richig sein... ;D
Gruss
MathePower
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