Bestimmen eines Minimums < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mo 01.09.2008 | | Autor: | banana15 |
Guten Abend!
Mathe war ehrlichgesagt noch nie so mein Ding und daher habe ich es nicht geschafft,folgende Aufgabe zu bewältigen:
Die Verpackung eines bestimmten Produktes muss die Länge von l=20cm haben. Der Deckel des verwendeten Kartons soll das Unterteil um 3cm überlappen.
Das Volumen des Kartons sei [mm] V=4dm^3.
[/mm]
Welche Breite und Höhe hat der Karton, wenn das verwendete Material ein Minimum sein soll?
Die Lösung ist vorgegeben,vielleicht hilft es bei der Bearbeitung der Aufgabe:
x= 13,2cm (Breite)
y= 15,17cm (Höhe)
Ich würde mich um einen Lösungsvorschlag freuen,denn ich fühle mich ziemlich hilfslos im Moment. xD
Liebe Grüße!
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Hi und schönen guten Abend,
auch wenn Mathe nicht so dein Ding ist, hast du bestimmt irgendeine Idee. Bringe diese doch bitte mit ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 01.09.2008 | | Autor: | banana15 |
Naja...eigentlich hab ich keine Idee.xD
Wir haben erst mit diesem Thema angefangen und es vorher noch nicht im Unterricht behandelt, also ist es keine Wiederholung des Stoffes.
Ich verstehe deine Umgehensweise, aber ich bin wirklich ratlos.
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> Guten Abend!
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> Mathe war ehrlichgesagt noch nie so mein Ding und daher
> habe ich es nicht geschafft,folgende Aufgabe zu
> bewältigen:
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> Die Verpackung eines bestimmten Produktes muss die Länge
> von l=20cm haben. Der Deckel des verwendeten Kartons soll
> das Unterteil um 3cm überlappen.
> Das Volumen des Kartons sei [mm]V=4dm^3.[/mm]
> Welche Breite und Höhe hat der Karton, wenn das verwendete
> Material ein Minimum sein soll?
>
>
> Die Lösung ist vorgegeben,vielleicht hilft es bei der
> Bearbeitung der Aufgabe:
> x= 13,2cm (Breite)
> y= 15,17cm (Höhe)
>
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> Ich würde mich um einen Lösungsvorschlag freuen,denn ich
> fühle mich ziemlich hilfslos im Moment. xD
Hallo,
ist denn das die genaue Aufgabe im Wortlaut? Wahrscheinlich nicht.
Was mir fehlt: wenn man den Materialverbrauch berechnen möchte, bräuchte man auch noch Anweisungen zur Breite der Kleberänder, ich muß den Karton ja irgendwie zusammenkleben.
Na gut, man kann's allerdings auch so machen: man nimmt die einzelnen Pappen und klebt sie mit Tesafilm zusammen - sicher nicht die stabilste Lösung, aber vielleicht ist's so gedacht. Man soll ja auch den Mindestverbrauch berechnen, wenn ich die skurrile Frage richtig verstehe, also den Verbrauch, unter dem das Problem einfach nicht zu lösen ist.
(Ich hab's durchgerechnet und eine andere Lösung als die Dir vorliegende bekommen)
Zur Vorgehensweise: Einen Karton wirst Du Dir vorstellen können. Nennen wir seine Seiten
l (Länge), die ist ja vorgegeben: l=20 cm
x (Breite)
y (Höhe).
Das Volumen V ist auch gegebn, [mm] V=4dm^3. [/mm] Da die Seitenlänge in cm gegeben ist, sollte man das Volumen auch unverzüglich in [mm] cm^3 [/mm] umrechnen, sonst gibt#s später leicht Chaos. (Du kannst natürlch auch die Lände in dm umwandeln, aber meist rechnet man lieber mit cm, weil man cm im Alltag mehr gewohnt ist.
Mal so nebenbei: [mm] 4dm^3, [/mm] wieviel ist das eigentlich? Wieviel Liter Milch könntest Du da reingießen?
Ich finde es nützlich, sich sowas zu überlegen, da ekommt man vorab schonmal ein bißchen Gefühl dafür, welche Ergebnissse in etwa zu erwarten sind.)
Nun weiter mit der eigenlichen Aufgabe:
Was hat das Volumen mit den Seiten l,x,y zu tun? V=...
Dies ist Deine Nebenbedingung. Du kannst x und y nicht beliebig klein wählen, weil ja ein gewisses Volumen erreicht werden soll.
Jetzt geht's an die Zielfunktion. Du mußt nun die Gleichung aufstellen, die den Materialverbrauch in [mm] cm^2 [/mm] liefert, denn die benötigte Kartonfläche zu minimieren ist ja das Ziel.
Nun schau, woraus der Karton besteht:
Boden: [mm] F_B=...
[/mm]
Vorderseite: [mm] F_V=...
[/mm]
Rückseite: [mm] F_R=...
[/mm]
linke Seite: [mm] F_{Sl}=...
[/mm]
rechte Seite: [mm] F_{Sr}=...
[/mm]
Deckel: Der Deckel ist etwas schwieriger. er muß erstmal so groß sein wie der Boden, aber in der Aufgabe steht, daß er um 3cm überlappen soll. Du mußt also für jede Kante noch einen 3 cm breiten Streifen zugeben. [mm] F_D=...
[/mm]
Addierst Du alles, was Du zuvor ausgerechnet hat, so hast Du den Gesamtkartonverbrauch (in Abhängigkeit von x und y) für eine Schachtel mit den geforderten Eigenschaften.
Nun ist es schwierig, eine Funktion zu optimieren, die von zwei Variablen abhängt.
Aber Du kannst Dich elegant retten: löse V=... nach y auf.
Mit Diesem y ersetze nun jedes y in der Zielfunktion. Ergebnis: Deine Zielfunktion hängt nur noch von x ab.
Und jetzt bist Du an dem Punkt, an dem Du das gewohnte Procedere der Extremwertbestimmung mit 1. Ableitung etc. anlaufen lassen kannst.
Versuch nun mal und zeig' Deine Ergebnisse, eventuell auch Zwischenergebnisse.
Sag' nicht gleich: ich versteh's nicht. Fang nach Anleitung an, stell Dir einen kleinen Karton auf den Tisch, vielleicht etwas Papier und eine Scere. es gibt viele Leute, die's besser kapieren, wenn sie etwas zum Anfassen haben.
Gruß v. Angela
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