Bestimmen einer gbr.rat. Fkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Hallo,
bei meiner Aufgabe ist ein Graph dargestellt mit schräger Asymptote: x+1
senkrechter Asymptote: x=0
und Nullstelle: (-2/0)
Nun soll die Funktionsgleichung bestimmt werden.
Lösung ist vorgegeben: [mm] \bruch{x³+x²+4}{x²}
[/mm]
Um die Funktion zu bestimmen sind die Definitionslücken ja wichtig, also die Asymptoten.
Hab im Buch dann die Erklärung gefunden, dass man die Gleichung der schrägen Asymptote mit (zbsp. bei x=1) [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] addiert oder subtrahiert. Dann die Gleichung der schrägen Asymptote erweitert mit (in diesem Fall) x-1 und somit die Funktionsgleichung hat.
Klingt einfach.
In diesem Fall liegt die Definitionslücke ja bei x=0.
Ich würde also sagen:
x+1 + [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Erweiter ich das alles und rechne zusammen kommt heraus:
[mm] \bruch{x²+x+1}{x}
[/mm]
Das ist ja nicht das Ergebnis was in der Lösung steht ...
Wenn ich jedoch anstatt [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{4}{x²} [/mm] setze, dann stimmt das alles. Dass ich anstatt der 1 auch eine 4 setzen kann ist mir irgendwie klar und dass es eine 4 sein MUSS, weil sonst die Nullstelle nicht bei (-2/0) liegt ist mir auch klar. Aber warum x²?
Und warum setzt man einfach die beiden Asymptoten zusammen und erhält dann die Funktionsgleichung?
Hilfe :)
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Hallo tAtey,
> Hallo,
> bei meiner Aufgabe ist ein Graph dargestellt mit schräger
> Asymptote: x+1
> senkrechter Asymptote: x=0
> und Nullstelle: (-2/0)
> Nun soll die Funktionsgleichung bestimmt werden.
> Lösung ist vorgegeben: [mm]\bruch{x³+x²+4}{x²}[/mm]
> Um die Funktion zu bestimmen sind die Definitionslücken ja
> wichtig, also die Asymptoten.
> Hab im Buch dann die Erklärung gefunden, dass man die
> Gleichung der schrägen Asymptote mit (zbsp. bei x=1)
> [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] addiert oder subtrahiert. Dann die Gleichung
> der schrägen Asymptote erweitert mit (in diesem Fall) x-1
> und somit die Funktionsgleichung hat.
> Klingt einfach.
> In diesem Fall liegt die Definitionslücke ja bei x=0.
> Ich würde also sagen:
> x+1 + [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
das ist schon mal gut.
aber leider nicht die ganze Wahrheit, wie du auch schon heraus gefunden hast.
Zeichne mal y=x+1 und die senkrechte  Asymptote x=0 in ein Koordinatensystem und markiere auch noch die zusätzliche Nullstelle (-2|0).
Damit der Graph durch diese Nullstelle gehen kann, muss der Graph rechts und links von der Polstelle oberhalb der Asymptote verlaufen.
Welcher Art ist daher die Polstelle? Mit Vorzeichenwechsel oder ohne?
Du bist von "ohne VZW" ausgegangen, da liegt der Fehler!
Wenn du jetzt noch als Ansatz eine Variable einführst, kommst du zum Ziel:
[mm] f(x)=x+1+\bruch{a}{x^2}
[/mm]
Nullstelle bei x=-2: f(-2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=...
rechne selbst.
> Erweiter ich das alles und rechne zusammen kommt heraus:
> [mm]\bruch{x²+x+1}{x}[/mm]
> Das ist ja nicht das Ergebnis was in der Lösung steht ...
> Wenn ich jedoch anstatt [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{4}{x²}[/mm]
> setze, dann stimmt das alles. Dass ich anstatt der 1 auch
> eine 4 setzen kann ist mir irgendwie klar und dass es eine
> 4 sein MUSS, weil sonst die Nullstelle nicht bei (-2/0)
> liegt ist mir auch klar. Aber warum x²?
> Und warum setzt man einfach die beiden Asymptoten zusammen
> und erhält dann die Funktionsgleichung?
Man wählt die "einfachste" Funktion, die diese beiden Asymptoten hat.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Ich danke sehr für die Antwort, hat mir weitergeholfen.
Allerdings stell ich mir eine Frage.
Sie hatten geschrieben:
Damit der Graph durch diese Nullstelle gehen kann, muss der Graph rechts und links von der Polstelle oberhalb der Asymptote verlaufen.
Welcher Art ist daher die Polstelle? Mit Vorzeichenwechsel oder ohne?
Du bist von "ohne VZW" ausgegangen, da liegt der Fehler!
Der Graph verläuft bei x->0 und x<0 f(x)->unendlich
bei x>0 genau das selbe Spiel.
Also ist es doch eine Polstelle OHNE Vorzeichenwechsel, oder?
Heißt das, bei Polstellen MIT Vorzeichenwechsel steht im Nenner KEIN Quadrat, bei Polstellen OHNE VZW MIT Quadrat, oder wie ist die Regel? :)
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Hallo tAtey,
> Ich danke sehr für die Antwort, hat mir weitergeholfen.
> Allerdings stell ich mir eine Frage.
>
> Sie hatten geschrieben:
> Damit der Graph durch diese Nullstelle gehen kann, muss der
> Graph rechts und links von der Polstelle oberhalb der
> Asymptote verlaufen.
> Welcher Art ist daher die Polstelle? Mit Vorzeichenwechsel
> oder ohne?
> Du bist von "ohne VZW" ausgegangen, da liegt der Fehler!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
du hast ganz recht; ich meinte es genau umgekehrt.
Du bist von "mit VZW" ausgegangen, es musste aber "ohne VZW" sein.
>
> Der Graph verläuft bei x->0 und x<0 f(x)->unendlich
> bei x>0 genau das selbe Spiel.
> Also ist es doch eine Polstelle OHNE Vorzeichenwechsel,
> oder?
>
> Heißt das, bei Polstellen MIT Vorzeichenwechsel steht im
> Nenner KEIN Quadrat, bei Polstellen OHNE VZW MIT Quadrat,
> oder wie ist die Regel? :)
Gerade Potenzen [mm] \Rightarrow [/mm] keine VZW an der Polstelle
ungerade Potenzen [mm] \Rightarrow [/mm] mit VZW an der Polstelle
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Dankesehr, jetzt habe ich es verstanden :)
Weitere Frage ist in der Aufgabe:
Der Graph schileßt im 1.Quadranten mit der schrägen Asymptote und der Geraden x=2 ein ins Unendliche reichendes Flächenstück ein. Untersuchen Sie, ob dieses Flächenstück eine endliche Maßzahl besitzt.
Hab mir den Graphen mal aufgemalt, ist das jetzt das Flächenstück im Intervall [2;unendlich] oder [0;2] aber y->unendlich?
Es müsste doch der zweite Fall sein, da man doch keine Flächenstücke in einem Intervall, das bis unendlich geht, ausrechnen kann, oder? ;)
Wie sieht denn die Stammfunktion dieser Funktion aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man rechnet die Fläche, also das integral bis zu nem Wert a aus. dann überlegt man, ob man bie a beliebig gross (d.h. a gegen [mm] \infty) [/mm] noch ne feste masszahl rauskriegt.
es gibt unendlich lange Flächen, die einen endlichen Flächeninhalt haben.
Beweis: nimm ein stück Papier, halbier es, leg eine Hälfte vor dich, halbie die andere, leg ene Hälfte neben das erst Stück, mach immer so weiter, (theoretisch) kannst du immer weiter halbieren, das Stück vor dir wird jedes mal eine Papierbreite länger, also beliebig lang, die Fläche kennst du aber schon am Anfang, nämlich die deines Stück Papiers!
Aber deine Frage find ich besser als einfach losrechnen! und alle klugen alten griechischen mathematiker würden dir recht geben, dass sowas doch nicht geht!
zur Stammfkt:
du hast ja die Differenz von 2 fkt. bring die auf den Hauptnenner, und vereinfache, dann wirds ganz einfach und du findest die Stammfkt. selbst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Wieso habe ich 2 Funktionen?
Ich habe doch nur die eine, dessen Flächeninhalt ich in einem bestimmten Intervall ausrechnen muss, oder?
Nehm ich jetzt den ersten Fall oder den 2. (Intervall [0;2])?
Bin jetzt etwas verunsichtert. Im ersten Fall wäre die Fläche sehr sehr klein, da es sich im Intervall [2;unendlich] um den fast angenäherten Bereich der Funktion handelt (also quasi nur um den miiiiiinimalen Abstand zwischen Asymptote und Graph).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
gefragt ist doch die Fläche zw. x=2, dem Graph der fkt und der Assymptote, also die Fläche (von2 an) ZWISCHEN Assymptote und Funktion, also musst du doch die Differenz von Funktion und der Assymptote - die hab ich die zweite fkt. genannt - integrieren.
Gruss leduart
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Hallo tAtey,
> Wieso habe ich 2 Funktionen?
> Ich habe doch nur die eine, dessen Flächeninhalt ich in
> einem bestimmten Intervall ausrechnen muss, oder?
> Nehm ich jetzt den ersten Fall oder den 2. (Intervall
> [0;2])?
> Bin jetzt etwas verunsichtert. Im ersten Fall wäre die
> Fläche sehr sehr klein, da es sich im Intervall
> [2;unendlich] um den fast angenäherten Bereich der Funktion
> handelt (also quasi nur um den miiiiiinimalen Abstand
> zwischen Asymptote und Graph).
ein Bild sagt mehr als tausend Worte ... 
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe einfach eine beliebige rechte Grenze mit x=6 gesetzt.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Meine Konzentration lässt wohl etwas nach .. natürlich hab ich 2 Funktionen. Entschuldige :)
Hab jetzt den Flächeninhalt im Intervall [2;3], [2;4], [2;5] und [2;6] ausgerechnet.
Was ist mit ENDLICHER Maßzahl gemeint?
Bei dem Intervall [2;6] bekomme ich als Flächeninhalt schon 1 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus. Das ist ja 0,33333333333(etc.) .. Also nicht endlich, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
endlich ist jede Zahl, die man angeben kann! gemeint also nicht unendlich groß!
du musst die Fläche zwischen 2 und a abeliebig berechnen, und dann sehen was für seehhhr große a rauskommt. etwa a=10000000
oder a=10000000000 d.h. du wirst sehen, die Zahl bleibt Immer kleiner als ne feste Zahl, wenn du a noch so groß machst. Dann sagt man die Fläche bis ins unendliche ist endlich bzw hat eine endliche Masszahl.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mo 15.10.2007 | | Autor: | tAtey |
AHHHHH!!! Geistesblitz! ;)
Wenn ich 100000 als Grenze eingebe, ist der Flächeninhalt trotzdem nicht größer als 2,0 sondern immernoch drunter. Heißt das, die Anwort auf die Frage ist: JA, es gibt eine endliche Maßzahl und die ist 2?!
..
Und jetzt meine Frage: WARUM? Weil der Graph so nah an die Asymptote kommt, dass es kaum noch eine Flächenstückzunahme gibt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 16.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Hmmm .. jetzt ist mir das alles klar. Aaaaaber, setze ich die Gerade auf x=1 anstatt auf x=2, dann ist die endliche Maßzahl: 1 .. setze ich die Gerade auf x=4, dann ist sie 4. Aber, wenn ich die Gerade nach rechts verschiebe (also meinetwegen x=4), dann wird doch das Flächenstück eigentlich kleiner (falls man das so sagen kann, da es ja ins Unendliche geht), aber größer wird es ja keinesfalls. Jedoch ist die endliche Maßzahl 4 ..
Wieso das zustande kommt ist mir jetzt klar, die Stammfunktion geht bei hohen Werten gegen 0, addiert mit a -> a = endliche Maßzahl.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mein Integral von 2 bis a ergibt:
4/2-4/a für a riesig wird verschwindet 4/a es bleibt 4/2=2
von 1 an hab ich 4/1-4/a also 4, von 4 an hab ich 4/4-4/a also 1
Deshalb versteh ich nicht was du sagst. was ist den unter deinem Integral? bei mir [mm] 4/x^2 [/mm] Stammfkt -4/x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 16.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Ja, das habe ich auch. Allerdings rechne ich F(b) - F(a) .. Das heißt, die obere Grenze minus die untere! Das ist dann zbsp: F(10000) - F(2).
Oder?
(In meinem Buch steht es nicht anders!)
Wobei mir deine Erklärung auch logischer erscheint ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ja, das habe ich auch. Allerdings rechne ich F(b) - F(a) ..
> Das heißt, die obere Grenze minus die untere! Das ist dann
> zbsp: F(10000) - F(2).
> Oder?
genau! aber F(10000)=-4/10000 und F(2)=-4/2
sodass F(10000) - F(2)=-4/10000+2 ergibt!!
> (In meinem Buch steht es nicht anders!)
ist auch gut so!
> Wobei mir deine Erklärung auch logischer erscheint ...
die deckt sich mit dem Buch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 16.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Hmm, dann verstehe ich etwas nicht.
Du hattest geschrieben:
Mein Integral von 2 bis a ergibt:
4/2-4/a für a riesig wird verschwindet 4/a es bleibt 4/2=2
von 1 an hab ich 4/1-4/a also 4, von 4 an hab ich 4/4-4/a also 1
Du hast jetzt aber die untere Grenze minus die obere Grenze gerechnet. a wird unendlich groß.
Aber ich hab meinen Fehler entdeckt, hab gestern Abend nur gerechnet gehabt: -4/1000000 + 4 (wenn die Grenze 4 war) und nicht + 4/4 !
:) Danke für deine Hilfe, hast mir seeeehr geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Di 16.10.2007 | | Autor: | tAtey |
Ah, das sollte keine Frage sein .. wie änder ich das denn um? :)
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