Bestimmen des Grenzwertes < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 28.01.2010 | | Autor: | squeedi |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^{n}} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{n+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+7}) [/mm] |
Hallo erstmal!
Versuche mich gerade in das Thema grenzwertberechnung einzuarbeiten und bräuchte promt mal Eure Hilfe.
Also den oben genannten Term habe ich gegeben. In der Musterlösung wurde nun direkt zu Beginn gesagt, dass:
[mm] \bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
sei! Jetzt meine Frage, ist das eine allgemeine Regel die ich mir so einfach merken muss? Weil ich kenne bisher nur diese:
(1 + [mm] \bruch{z}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^z
[/mm]
Danke schonmal im voraus!
Gruß Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Berechnen Sie die Grenzwerte:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^{n}}[/mm] * [mm](\bruch{1}{n+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n+7})[/mm]
> Hallo erstmal!
>
> Versuche mich gerade in das Thema grenzwertberechnung
> einzuarbeiten und bräuchte prompt mal Eure Hilfe.
>
> Also den oben genannten Term habe ich gegeben. In der
> Musterlösung wurde nun direkt zu Beginn gesagt, dass:
>
> [mm]\bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> sei! Jetzt meine Frage, ist das eine allgemeine Regel die
> ich mir so einfach merken muss? Weil ich kenne bisher nur
> diese:
>
> [mm] \red{\lim\limits_{n\to\infty}}(1 [/mm] + [mm]\bruch{z}{n})^{n}[/mm] = [mm]e^z[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, und die solltest du dir unbedingt bis in alle Ewigkeit merken 
Nun, es ist $\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^n=\frac{\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^1}}$
Was treibt dieses Biest nun für $n\to\infty$ ?
Für die weitere Grenzwertuntersuchung schreibe linkerhand im Zähler $n^{n+2}=n^n\cdot{}n^2$, dann hast du schonmal den Teil, den wir gerade besprochen haben.
Dann mache die beiden Brüche in der Klammer gleichnamig und multipliziere das verbleibende $n^2$ dran ...
Dann klammere in der Klammer in Zähler und Nenner $n^2$ aus und nutze einfach die Grenzwertsätze
> Danke schonmal im voraus!
>
> Gruß Christian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 28.01.2010 | | Autor: | squeedi |
| Aufgabe | Hier mein Lösungsweg (vielen Dank Schachuzipus für deine tolle Erklärung. hat mir sehr geholfen!)
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^{n}} [/mm] $ * $ [mm] (\bruch{1}{n+2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{n+7}) [/mm] $
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] n^2 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{n+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+7})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] (\bruch{n^2}{n+2} [/mm] - [mm] \bruch{n^2}{n+7} [/mm] --> auf gleichen Nenner bringen
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] (\bruch{n^2*(n+7)}{(n+2)*(n+7)} [/mm] - [mm] \bruch{n^2*(n+2)}{(n+7)*(n+2)})
[/mm]
nach diversen Ausklammern komm ich im endeffekt dann auf:
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] (\bruch{5}{1+\bruch{9}{n}+\bruch{14}{n^2}})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] angewendet müsste folgendes Ergebnis rauskommen:
[mm] [b]\bruch{5}{e}[/b] [/mm] |
Mir gefällt das Ergebnis, Euch auch?
Oder hab ich mal wieder was verdreht?
Danke schonmal im voraus!!!
LG Christian
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Hallo Christian,
> Hier mein Lösungsweg (vielen Dank Schachuzipus für deine
> tolle Erklärung. hat mir sehr geholfen!)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{n+2}}{(n+1)^{n}}[/mm] * [mm](\bruch{1}{n+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n+7})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] * [mm]n^2[/mm] * [mm](\bruch{1}{n+2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n+7})[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] * [mm](\bruch{n^2}{n+2}[/mm] - [mm]\bruch{n^2}{n+7}[/mm] -->
> auf gleichen Nenner bringen
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] * [mm](\bruch{n^2*(n+7)}{(n+2)*(n+7)}[/mm] - [mm]\bruch{n^2*(n+2)}{(n+7)*(n+2)})[/mm]
>
> nach diversen Ausklammern komm ich im endeffekt dann auf:
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] * [mm](\bruch{5}{1+\bruch{9}{n}+\bruch{14}{n^2}})[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] angewendet müsste folgendes
> Ergebnis rauskommen:
>
> [mm]\bruch{5}{e}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Mir gefällt das Ergebnis, Euch auch?
Ja, sogar sehr
>
> Oder hab ich mal wieder was verdreht?
Nein
>
> Danke schonmal im voraus!!!
>
> LG Christian
Gruß
schachuzipus
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