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Forum "Integralrechnung" - Bestimmen der Stammfunktion
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Bestimmen der Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Mi 23.01.2008
Autor: tiamo

Hallo,
bin neu hier und ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich soll das Volumen eines Rotationskörpers berechnen.
Die Funktion lautet: f(x) = 2 + [mm] sin(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] )   x [mm] \varepsilon [/mm] [-6;6]

[]Skizze mit Hinweis


f(x) = 2 + [mm] sin(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] )
weil es ein Binom ist habe ich es mit der Binomischen Formel quadriert.


[mm] f^2(x) [/mm] = 4 + [mm] 4*sin(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ) + [mm] sin^2(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm]


[mm] sin^2(x) [/mm] habe ich mit dem Hinweis auf dem Arbeitsblatt gelöst.

F(x) = 4x + ??? + [mm] [x-\bruch{1}{\bruch{\pi}{6}}*sin^2(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})] [/mm]

[mm] 4*sin(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] )  wollte ich mit der Kettenregel lösen.

N.R.
innere Funk.       a(x) = [mm] \bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
innere Stammf.   A(x) = [mm] \bruch{1}{12}*\pi*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}*x [/mm]

äussere Funk.     g(a) = 4*sin(a)
äussere Stammf. G(a) = -4*cos(a)
                            G(a(x)) = [mm] -4*cos(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm]
                      
              ???= [mm] -4*cos(\bruch{\pi}{6}*x-\bruch{\pi}{2})*(\bruch{1}{12}*\pi*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}*x) [/mm]



F(x) = 4x + [mm] -4*cos(\bruch{\pi}{6}*x-\bruch{\pi}{2})*(\bruch{1}{12}*\pi*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}*x) [/mm] + [mm] [x-\bruch{1}{\bruch{\pi}{6}}*sin^2(\bruch{\pi}{6}*x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})] [/mm]

Stimmt das [verwirrt] . Bitte um Hilfe oder Tipps

        
Bezug
Bestimmen der Stammfunktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Mi 23.01.2008
Autor: zetamy

Hallo,

> [mm]4*sin(\bruch{\pi}{6}*x - \bruch{\pi}{2})[/mm]  wollte ich mit
> der Kettenregel lösen.

Nein! Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel. Um eine Stammfunktion zu finden, brauchst du die Substitutionsregel:

[mm] \integral_{}^{}{f[g(t)]*g'(t)dt}=\integral{f(x)} [/mm] mit x=g(t) und dx=g'(x).

Bei dir ist f der sin und g das Argument.  Du hast ja schon [mm]-4*cos(\bruch{\pi}{6}*x - \bruch{\pi}{2})[/mm]. Leite das ab und vergleiche die Ableitung mit [mm]4*sin(\bruch{\pi}{6}*x - \bruch{\pi}{2})[/mm].

Gruß, zetamy

Bezug
                
Bezug
Bestimmen der Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Mi 23.01.2008
Autor: tiamo

Vielen dank für die Info.

Ist die Stammfunktion denn so richtig ?
F(x) = [mm] 4x$-4\cdot{}cos(\bruch{\pi}{6}\cdot{}x-\bruch{\pi}{2}) [/mm] $ + $ [mm] [x-\bruch{1}{\bruch{\pi}{6}}\cdot{}sin^2(\bruch{\pi}{6}\cdot{}x [/mm] $ - $ [mm] \bruch{\pi}{2})] [/mm] $
Bezug
                        
Bezug
Bestimmen der Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mi 23.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Vielen dank für die Info.
>  
> Ist die Stammfunktion denn so richtig ?
>  F(x) =
> 4x[mm]-4\cdot{}cos(\bruch{\pi}{6}\cdot{}x-\bruch{\pi}{2})[/mm] +
> [mm][x-\bruch{1}{\bruch{\pi}{6}}\cdot{}sin^2(\bruch{\pi}{6}\cdot{}x[/mm]
> - [mm]\bruch{\pi}{2})][/mm]

Das kann man (leicht) selbst überprüfen denn es gilt F'(x)=f(x)

Ich hab mal deine Stammfunktion abgeleitet und folgendes raus. [mm] 4+\bruch{4\pi}{6}sin(\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{6})+1-2sin(\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{6})cos(\bruch{\pi}{6}x-\bruch{\pi}{6}) [/mm] sofern ich mich nirgens verrechnet habe und zusammenfassen kann man da auch noch!
[cap] Gruß

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