Bestimmen der Höhenlinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Fr 01.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Geben Sie die Höhenlinien an und skizzieren Sie diese.
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] e^{3x_1-4x_2} [/mm] |
Hallo, hier mein bisheriger Lösungsweg:
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] e^{3x_1-4x_2}
[/mm]
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = C
-> [mm] e^{3x_1-4x_2} [/mm] = C |ln
-> [mm] lne^{3x_1-4x_2} [/mm] = lnC
-> [mm] 3x_1-4x_2 [/mm] = lnC
Stimmt das soweit? Und kann ich dann als nächstes die rechte Seite, also das lnC, als ein anderes bestimmtes C schreiben und das so kennzeichnen: lnC =: [mm] \bar{C}
[/mm]
Dann würde ich durch dieses [mm] \bar{C} [/mm] teilen, damit auf der rechten Seite 1 rauskommt. Auf der linken Seite würden dementsprechend Brüche resultieren.
[mm] \bruch{3x_1}{\bar{C}} [/mm] - [mm] \bruch{4x_2}{\bar{C}} [/mm] = 1
Und als letzten Schritt könnte man doch noch die Zahlen vor dem x in den Nenner bringen, sodass [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] "allein" da stehen, oder?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
LG
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Hallo dudu93,
> Geben Sie die Höhenlinien an und skizzieren Sie diese.
>
> [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]e^{3x_1-4x_2}[/mm]
> Hallo, hier mein bisheriger Lösungsweg:
>
> [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]e^{3x_1-4x_2}[/mm]
>
> [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = C
Ok, sinnvoll ist ja nur [mm]C>0[/mm]
>
> -> [mm]e^{3x_1-4x_2}[/mm] = C |ln
>
> -> [mm]lne^{3x_1-4x_2}[/mm] = lnC
>
> -> [mm]3x_1-4x_2[/mm] = lnC
>
> Stimmt das soweit?
Ja
> Und kann ich dann als nächstes die
> rechte Seite, also das lnC, als ein anderes bestimmtes C
> schreiben und das so kennzeichnen: lnC =: [mm]\bar{C}[/mm]
>
> Dann würde ich durch dieses [mm]\bar{C}[/mm] teilen, damit auf der
> rechten Seite 1 rauskommt. Auf der linken Seite würden
> dementsprechend Brüche resultieren.
>
> [mm]\bruch{3x_1}{\bar{C}}[/mm] - [mm]\bruch{4x_2}{\bar{C}}[/mm] = 1
>
> Und als letzten Schritt könnte man doch noch die Zahlen
> vor dem x in den Nenner bringen, sodass [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> "allein" da stehen, oder?
Ich würde "einfach" nach [mm]x_2[/mm] umstellen, also [mm]x_2=\frac{3}{4}x_1-\frac{\ln(C)}{4}[/mm]
Und das sind doch alles parallele Geraden, oder sehe ich da gerade was komplett falsch?!
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 01.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
Wieso würdest du denn nach [mm] x_2 [/mm] umstellen? Das verstehe ich gerade nicht so ganz.
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort.
> Wieso würdest du denn nach [mm]x_2[/mm] umstellen? Das verstehe ich
> gerade nicht so ganz.
Nenn das doch statt [mm]x_1,x_2[/mm] wie gewohnt [mm]x,y[/mm], dann hast du doch als Höhenlinien Geradengleichungen [mm]y=3/4x-\ln(C)/4[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Fr 01.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Okay, danke.
Ich dachte bloß, dass bei Höhenlinien auf der rechten Seite immer die Konstante C stehen muss, welche man dann zu 1 "umformt". Würde man das so machen, wie ich am Anfang erklärt habe, würde wohl eine Ellipse rauskommen.
Deshalb ist mir nicht so klar, wie denn nun der richtige Weg für das Bestimmen von Höhenlinien ist.
1)f(x,y).... = C
2) umformen, sodass links nur x,y steht und C zu 1 formen
3)Für C setzt man bestimmte Werte ein, damit man die Punkte auf der x- und y-Achse bekommt und somit z.B. einen Kreis oder eine Ellipse zeichnen kann.
Das war bisher immer meine Vorstellung vom Vorgehen.
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Hallo nochmal,
> Okay, danke.
>
> Ich dachte bloß, dass bei Höhenlinien auf der rechten
> Seite immer die Konstante C stehen muss, welche man dann zu
> 1 "umformt". Würde man das so machen, wie ich am Anfang
> erklärt habe, würde wohl eine Ellipse rauskommen.
Wie das denn?
Die Variablen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] treten doch nur linear auf ...
Das ist nur eine "verschwurbelte" Geradengleichung
>
> Deshalb ist mir nicht so klar, wie denn nun der richtige
> Weg für das Bestimmen von Höhenlinien ist.
>
> 1)f(x,y).... = C
> 2) umformen, sodass links nur x,y steht und C zu 1 formen
> 3)Für C setzt man bestimmte Werte ein, damit man die
> Punkte auf der x- und y-Achse bekommt und somit z.B. einen
> Kreis oder eine Ellipse zeichnen kann.
Hier kriegs du aber weder Kreis noch Ellipse, hier musst du nicht kompliziert denken ...
>
> Das war bisher immer meine Vorstellung vom Vorgehen.
Naja, 2) ist eher so gemeint, dass du so umformen sollst, dass du die Art der Höhenlinie besser "ablesen" kannst - hier einfach Geraden ...
Hast du Maple oder ein ähnliches Programm?
Da kannst du dir die Höhenlinien von f mal zeichnen lassen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Fr 01.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Nein, das Programm habe ich nicht.
Und für C setze ich dann beispielsweise einfach einige Werte ein, um die Höhenlinien zu zeichen, richtig?
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Hallo nochmal,
> Nein, das Programm habe ich nicht.
Vllt. geht das ja auch bei Wolframalpha online?!
>
> Und für C setze ich dann beispielsweise einfach einige
> Werte ein, um die Höhenlinien zu zeichen, richtig?
Genau, aber aus der Darstellung [mm]x_2=3/4x_1-\ln(C)/4[/mm] siehst du ja direkt, dass der (für festes C) konstante Term [mm]-\ln(C)/4[/mm] "nur" den [mm]x_2[/mm]-Achsenabschnitt angibt (in Abh. von C).
Zeiche dir das ruhig mal für ein paar Werte von C auf.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ja, das scheinen wirklich parallele Geraden zu sein: http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%7B3x-4y%7D
Dann werde ich mal das zeichnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
So, sieht die Skizze der Höhenlinien so in etwa richtig aus? http://www.abload.de/img/2012-06-0200.14.53mj9uk.jpg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber an den Linien sollte man die Hoehen angeben, das scheint mir unguenstig gezeichnet. also C=0.1;1;2,3,4 usw.oder das 10 fache ist das uebliche, also die C aequidistant nicht die lnC, sonst kann man an dem Bild nichts ablesen! man will doch sehen, wie steil das ist!
Gruss leduart .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Alles klar, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Bei der nächsten Funktion:
g(x,y) = [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 2
habe ich:
[mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 2 = C
-> [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] = C - 2
Soll ich jetzt hier wieder nach y umstellen? Es müssen laut Wolfram Alpha Kreise herauskommen.
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Hallo nochmal,
> Bei der nächsten Funktion:
>
> g(x,y) = [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] + 2
>
> habe ich:
>
> [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] + 2 = C
>
> -> [mm]4x^2[/mm] + [mm]4y^2[/mm] = C - 2
>
> Soll ich jetzt hier wieder nach y umstellen? Es müssen
> laut Wolfram Alpha Kreise herauskommen.
Na, klammere doch mal 4 aus und schaffe es rüber, dann "siehst" du doch schon, dass das wohl Kreise ergibt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe jetzt:
aus den Schritten eben folgt:
-> [mm] 4(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = c - 2 |:4
-> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] \bruch{c - 2}{4} [/mm]
Links sagt mir ja, dass es Kreise sind. Und rechts müsste der Radius sein. Da setze ich einfach für c wieder irgendwelche Werte ein, richtig?
LG
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> Ich habe jetzt:
>
> aus den Schritten eben folgt:
>
> -> [mm]4(x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] = c - 2 |:4
>
> -> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]\bruch{c - 2}{4}[/mm]
>
> Links sagt mir ja, dass es Kreise sind. Und rechts müsste
> der Radius sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht der Radius, sondern dessen Quadrat.
> Da setze ich einfach für c wieder
> irgendwelche Werte ein, richtig?
Vorsicht: da das Quadrat des Radius nicht negativ sein darf,
sind nicht alle Werte von c zuläßig !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 02.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Also quasi:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] (\bruch{c - 2}{4})^2
[/mm]
Dann muss c also gleich oder größer 2 sein, damit es nicht negativ wird, oder?
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> Also quasi:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm](\bruch{c - 2}{4})^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein; die Gleichung $ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] \ =\ [mm] \bruch{c - 2}{4} [/mm] $
war schon in Ordnung; ergänze sie einfach zu:
$ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] \ =\ [mm] \bruch{c - 2}{4}\ [/mm] =\ [mm] r^2 [/mm] $
Wegen [mm] r^2\ge0 [/mm] und [mm] r\ge0 [/mm] haben wir dann $\ r\ =\ [mm] \sqrt{ \bruch{c - 2}{4}}$ [/mm]
> Dann muss c also gleich oder größer 2 sein, damit es
> nicht negativ wird, oder?
Ja. Dabei entsteht für c=2 noch kein eigentlicher Kreis,
sondern ein Punkt.
LG
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