Bestimmen der Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Helmut84 |
| Aufgabe | Aufgabe 11.4 Sei [mm] f:\IR^3 \rightarrow \IR^4 [/mm] eine lineare Abbildung für die gilt:
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 3})=\vektor{-1\\1\\-2\\0},~f(\vektor{2\\-2\\0})=\vektor{0\\1\\-3\\-1},~f(\vektor{-1\\0\\-2})=\vektor{1\\1\\-1\\-1}
[/mm]
Bestimmen Sie die zu f gehörende Abbildungsmatrix A mit f(x) = Ax für
alle x [mm] \in \IR^3. [/mm] |
Hallo! Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich die AUfgabe lösen soll...
Wie kann ich denn Anhand der gegebenen Urbild- und Bildvektoren bestimmen, wie die Abbildungsmatrix aussehen muss?
Hat da vielleicht mal jemand einen Tip für mich?
Gruß,
Helmut
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> Aufgabe 11.4 Sei [mm]f:\IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm] eine lineare
> Abbildung für die gilt:
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 3})=\vektor{-1\\1\\-2\\0},~f(\vektor{2\\-2\\0})=\vektor{0\\1\\-3\\-1},~f(\vektor{-1\\0\\-2})=\vektor{1\\1\\-1\\-1}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die zu f gehörende Abbildungsmatrix A mit
> f(x) = Ax für
> alle x [mm]\in \IR^3.[/mm]
> Hallo! Irgendwie weiß ich nicht so
> recht, wie ich die AUfgabe lösen soll...
> Wie kann ich denn Anhand der gegebenen Urbild- und
> Bildvektoren bestimmen, wie die Abbildungsmatrix aussehen
> muss?
> Hat da vielleicht mal jemand einen Tip für mich?
Hallo,
Du schreibst es zwar nicht so genau, aber Du sollst sicher die Matrix der Abbildung angeben von der kanonischen Basis des [mm] \IR^3 [/mm] in die kanonische Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Um das zu tun, brauchst also Du die Bilder der Basis [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}), [/mm] welche dann als Spalten in die gesuchte Matrix einzutragen sind.
Wie findest Du nun das Bild z.B. von [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0}?
[/mm]
Es Du kennst ja das Bild der Abbildung f auf der Basis [mm] (\vektor{0 \\ 1 \\ 3},\vektor{2\\-2\\0},\vektor{-1\\0\\-2}).
[/mm]
Du mußt nun herausfinden, wie Du [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] schreiben kannst als
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}=a\vektor{0 \\ 1 \\ 3}+b\vektor{2\\-2\\0}+c\vektor{-1\\0\\-2}.
[/mm]
Hierauf wendest Du dann Deine Abbildung f an und nutzt ihre Linearität.
Für die anderen kanonischen Einheitsvektoren genauso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Helmut84 |
Also muss ich im Prinzip 3 Gleichungssysteme mit 3 unbekannten Lösen, wobei die kanonischen Einheitsvektoren jeweils die Lösung eines der Gleichungssysteme darstellen? Und meine a,b,c aus der Linearkombination bilden dann eine Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix? Oder habe ich das falsch verstanden? Aber eigentlich müsste ich doch eine 3x4 Matrix finden. Sonst kann ich doch gar nicht einen 3x1 auf einen 4x1 Vektor abbilden!?
Hierauf wendest Du dann Deine Abbildung f an und nutzt ihre Linearität.
Was genau meinst du damit? Wenn ich die Matrix bestimmt habe ist sie doch bestimmt(?)... W
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> Also muss ich im Prinzip 3 Gleichungssysteme mit 3
> unbekannten Lösen, wobei die kanonischen Einheitsvektoren
> jeweils die Lösung eines der Gleichungssysteme darstellen?
Ja.
(Wenn Du das kannst und vor allem durchschaust, kannst Du es simultan machen durch Invertieren der Matrix, welche die drei "krummen" Basisvektoren als Spalten enthält.)
> Und meine a,b,c aus der Linearkombination bilden dann eine
> Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix?
Nein.
Du brauchst ja das Bild von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] unter Deiner Abbildung, und dieses mußt Du bestimmen.
Es ist ja - jetzt kommt die Linearität ins Spiel -
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\0})=f(a\vektor{0 \\ 1 \\ 3}+b\vektor{2\\-2\\0}+c\vektor{-1\\0\\-2})=af(\vektor{0 \\ 1 \\ 3})+ [/mm] ...,
und das kannst du mit den Angaben, die Du über f hast, berechnen.
Die BILDER der kanonischen Einheitsbasis kommen in die Spalten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Helmut84 |
Ahh... Nun hab ich auch verstanden, was du meinst! :) Ich hab was ganz anderes gedacht...
Vielen lieben Dank für deine Hilfe! :))
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