Bestimmen d. Lage einer Streck < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lage der Strecke AB mit a(2,1) b(1,3) nach ausführung folgender Transformationen in der angegeben Reihenfolge unter verwendung homogener Koordinaten:
1.) Spiegelung bezüglich des Ursprung
2.) Translation mit [mm] \vec{t} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
3.) Drehung um p(1,-2 mir [mm] \delta [/mm] = 90) |
kann mir da jemand ein Tip geben das ergebnis hab ich scho
A'(1;4) B'(3;-3)
Aber der Rechenweg dort hin ist undurchsichtig
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Lage der Strecke AB mit a(2,1) b(1,3)
> nach ausführung folgender Transformationen in der angegeben
> Reihenfolge unter verwendung homogener Koordinaten:
> 1.) Spiegelung bezüglich des Ursprung
> 2.) Translation mit [mm]\vec{t}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
> 3.)
> Drehung um p(1,-2 mir [mm]\delta[/mm] = 90)
> kann mir da jemand ein Tip geben das ergebnis hab ich
> scho
> A'(1;4) B'(3;-3)
Hallo,
ich sag's gleich: ich habe von homogenen Koordinaten usw. keine Ahnung.
Ich weiß nur, was ich eben in der ![[]](/images/popup.gif) wikipedia darüber gelesen habe.
Da ich aber Dein Ergebnis bekommen habe, bin ich frohen Mutes.
Ich rechne es Dir vor:
In homogenen Koordinaten geht man eine Dimension höher und kann dann auch Translationen durch Matrizen multiplikationen darstellen.
[mm] a=\vektor{2 \\ 1} [/mm] ---> [mm] a_H=\vektor{2 \\ 1 \\1}
[/mm]
[mm] b=\vektor{1 \\ 3} [/mm] ---> [mm] b_H=\vektor{1 \\ 3 \\1}
[/mm]
1.) Spiegelung [mm] S=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] ---> [mm] S_H=\pmat{ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 &0 \\0 & 0 &0}
[/mm]
2.) Die Translation T um [mm] \vektor{1 \\ -1}, [/mm] für welche man in "normalen" Koordinaten eine Addition bräuchte, stellt sich in homogenen durch
[mm] T_H=\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 &-1 \\0 & 0 &1} [/mm] dar.
3.) Die Drehung um den Punkt [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] um 90° kann man ersetzen durch Verschiebung in den Ursprung, Drehung um 90°, Rückverschiebung.
a) Translation T' um [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] ---> [mm] T_H'=\pmat{ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 &2 \\0 & 0 &1}
[/mm]
b) Drehung [mm] D=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] ---> [mm] D_H=\pmat{ 0 & -1 &0\\ 1 & 0 &0 \\0 & 0 &1}
[/mm]
c) Translation T'^{-1} um [mm] \vektor{1 \\ -2} --->T_H'^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 &-2 \\0 & 0 &1}
[/mm]
So, nun geht's los:
[mm] T_H'^{-1}*D_H*T_H'*T_H*S [/mm] angewendet auf [mm] a_h [/mm] liefert den Bildvektor in homogenen Koordinaten, den gesuchten Vektor a' bekommst Du dann durch Weglassen der letzten Koordinate (wenn diese nicht=1 ist, solltest Du ins Grübeln geraten.)
Gruß v. Angela
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