Bestimme alle Körpermorphismen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 28.05.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei [mm] \overline{Q} [/mm] ein algebraischer Abschluss von Q. Man bestimme alle Körpermorphismen [mm] Q(\wurzel[4]{2},i) [/mm] → [mm] \overline{Q} [/mm] sowie deren Bilder. |
Vorerst: Mir ist die Theorie nicht wirklich klar ich konnte der Vorlesung kaum Folgen und ich habe dazu lediglich ein Beispiel. So viel ich weiß bestimmt man vorerst das Minimalpolynom. In dem Fall ist es [mm] (x^4-2)(x^2+1). [/mm] Das ist normiert und irreduzibel über Q (zeige ich mit Reduktionskriteirum, da Eisenstein hier nicht hilft (ist das richtig?)).
Nun soll das was über die Anzahl der Körpermorphismen angeben? Und nun wüsste ich auch nicht wie ich weiter machen sollte? Kann mir einer (Theorie würde im ersten Schritte denke ich helfen) unter die Arme greifen?
Viele Dank und beste Grüße
shadee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mo 28.05.2012 | | Autor: | teo |
> Sei [mm]\overline{Q}[/mm] ein algebraischer Abschluss von Q. Man
> bestimme alle Körpermorphismen [mm]Q(\wurzel[4]{2},i)[/mm] →
> [mm]\overline{Q}[/mm] sowie deren Bilder.
> Vorerst: Mir ist die Theorie nicht wirklich klar ich
> konnte der Vorlesung kaum Folgen und ich habe dazu
> lediglich ein Beispiel. So viel ich weiß bestimmt man
> vorerst das Minimalpolynom. In dem Fall ist es
> [mm](x^4-2)(x^2+1).[/mm] Das ist normiert und irreduzibel über Q
> (zeige ich mit Reduktionskriteirum, da Eisenstein hier
> nicht hilft (ist das richtig?)).
>
> Nun soll das was über die Anzahl der Körpermorphismen
> angeben? Und nun wüsste ich auch nicht wie ich weiter
> machen sollte? Kann mir einer (Theorie würde im ersten
> Schritte denke ich helfen) unter die Arme greifen?
>
> Viele Dank und beste Grüße
> shadee
Hallo,
Zuerst solltest du dir überlegen wie die Nullstellen von [mm] x^4-2 [/mm] ausschauen. Es gibt hier vier verschiedene nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Überlege dir dann welchen Grad die Körpererweiterung hat. Warum? (Eigentlich müsstest du auch zeigen, dass die Körpererweiterung galoisch ist.) Die Galoisgruppe hat dann die Ordnung ? und dann gibt es genau wie viele Homomorphismen? Bei uns hieß der Satz: Hauptlemma der elementaren Körpertheorie.
Vlt. hilft dir das ja schon weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Di 29.05.2012 | | Autor: | shadee |
Ah das hilft schon mal sehr weiter (Vor allem die Bezeichnung des Satzes), danke. Den Begriff galoisch hab ich schon oft gesehen und gelesen, wurde bei uns aber in der Vorlesung noch nicht eingeführt, das wundert mich selbst ein wenig. Vllt ist das ja dann schon morgen der Fall. Nach ein bisschen Recherche habe ich nun folgende Dinge herausgefunden:
Anzahl der K-Homomorphismen von K(a) ist gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von Minimalpolynom von a über K.
Das heißt ich habe 4 K-Homomorphismen, da [mm] (x^4-2) [/mm] 4 Nullstellen hat und zwar: [mm] \wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i*\wurzel[4]{2}, -i*\wurzel[4]{2}, [/mm] wobei die letzten beiden nicht über [mm] \IQ [/mm] sind. (Ist das ein Problem? Ich nehme mal an).
Nach dem Hauptlemma gibt es zu jeder Nullstelle b von [mm] x^4-2 [/mm] einen Isomorphismus von $ [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] $ auf $ [mm] \IQ(b) [/mm] $, der [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] auf b abbildet.
Also wären meine Homomorphismen (zumindest die für [mm] \wurzel[4]{2}):
[/mm]
[mm] \phi_1 [/mm] : [mm] \wurzel[4]{2} \mapsto \wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \phi_2 [/mm] : [mm] \wurzel[4]{2} \mapsto -\wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \phi_3 [/mm] : [mm] \wurzel[4]{2} \mapsto i*\wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \phi_4 [/mm] : [mm] \wurzel[4]{2} \mapsto -i*\wurzel[4]{2}
[/mm]
Ist das so korrekt? Danke für eine (fixe) Antwort im voraus.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Di 29.05.2012 | | Autor: | teo |
> Ah das hilft schon mal sehr weiter (Vor allem die
> Bezeichnung des Satzes), danke. Den Begriff galoisch hab
> ich schon oft gesehen und gelesen, wurde bei uns aber in
> der Vorlesung noch nicht eingeführt, das wundert mich
> selbst ein wenig. Vllt ist das ja dann schon morgen der
> Fall. Nach ein bisschen Recherche habe ich nun folgende
> Dinge herausgefunden:
>
> Anzahl der K-Homomorphismen von K(a) ist gleich der Anzahl
> der verschiedenen Nullstellen von Minimalpolynom von a
> über K.
>
> Das heißt ich habe 4 K-Homomorphismen, da [mm](x^4-2)[/mm] 4
> Nullstellen hat und zwar: [mm]\wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i*\wurzel[4]{2}, -i*\wurzel[4]{2},[/mm]
> wobei die letzten beiden nicht über [mm]\IQ[/mm] sind. (Ist das ein
> Problem? Ich nehme mal an).
>
> Nach dem Hauptlemma gibt es zu jeder Nullstelle b von
> [mm]x^4-2[/mm] einen Isomorphismus von [mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm] auf [mm]\IQ(b) [/mm],
> der [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] auf b abbildet.
>
> Also wären meine Homomorphismen (zumindest die für
> [mm]\wurzel[4]{2}):[/mm]
>
> [mm]\phi_1[/mm] : [mm]\wurzel[4]{2} \mapsto \wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\phi_2[/mm] : [mm]\wurzel[4]{2} \mapsto -\wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\phi_3[/mm] : [mm]\wurzel[4]{2} \mapsto i*\wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\phi_4[/mm] :
> [mm]\wurzel[4]{2} \mapsto -i*\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> Ist das so korrekt? Danke für eine (fixe) Antwort im
> voraus.
>
> Grüße
Hallo,
das stimmt schon fast. Der Grad der Körpererweiterung ist aber nicht 4 sondern 8. Denn der Grad der Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] | [mm] \IQ [/mm] = [mm] deg(x^4-2)=4. [/mm] Über dem Körper [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] zerfällt allerdings dein Minimalpolynom noch nicht in Linearfaktoren (Zerfällungskörper). Deswegen brauchst du noch i. Da i [mm] \in \IC\\IR [/mm] also i [mm] \not\in \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] folgt, dass der Grad der Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel[4]{2},i)|\IQ(\wurzel[4]){2})=deg(x^2+1)=2 [/mm] ist. Mit der Gradformel ergibt sich dann 8 als Grad der Körpererweiterung. Entsprechend fehlen dir noch 4 Homomorphismen.
Galoisch zu zeigen ist dann einfach. Weil der [mm] \IQ(\wurzel[4]{2},i) [/mm] der Zerfällungskörper von [mm] x^4-2 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist, also normal und weil [mm] \IQ [/mm] vollkommen ist, ist jedes irreduzible Polynom separabel und somit ist deine Körpererweiterung auch separabel also galoisch...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 29.05.2012 | | Autor: | shadee |
Oha. Ich komme noch auf zwei weitere, indem ich das gleiche Spiel für den zweiten Faktor also [mm] (x^2+1) [/mm] durchmache. Dabei erhalte ich die beiden Nullstellen i und -i und die Homomorphismen:
i [mm] \mapsto [/mm] i
i [mm] \mapsto [/mm] -i
Wo blieben die anderen beiden? Oder ist dieser zweite Schritt nicht mehr richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 29.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du bekommst die durch Kombination.
Also:
[mm] \phi_1(\wurzel[4]{2})\mapsto \wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \phi_1(i) \mapsto [/mm] i
[mm] \phi_2(\wurzel[4]{2})\mapsto \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \phi_2(i) \mapsto [/mm] -i
usw.. dann gibt das 8.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 30.05.2012 | | Autor: | shadee |
Nur was muss ich mit was kombinieren? Ist deine vorherige Antwort 100% richtig? Ich meine da sind entweder Indizes und/oder Minuszeichen verschütt gegangen oder falsch?
Danke für deine Hilfe erstmal :O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 30.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, normalerweise macht man da immer so eine Tabelle ich versuch das hier mal zu improvisieren: Die Elemente der Galoisgruppe [mm] Gal(\IQ(\wurzel[4]{2},i) [/mm] sind gegeben durch die folgenden Automorphismen:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
[mm] \phi_i(\wurzel[4]{2}) \wurzel[4]{2} -\wurzel[4]{2} i\wurzel[4]{2} -i\wurzel[4]{2} \wurzel[4]{2} -\wurzel[4]{2} i\wurzel[4]{2} -i\wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \phi_i(i) [/mm] i i i i -i -i -i -i
Ja ok sieht kacke aus, aber ich hoffe du weißt jetzt wie ichs meine..
Grüße
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