Bestapproximation < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Di 07.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Es sei f eine inetrierbare Funktionund [mm] P^k [/mm] der Raum der Polynome vom Grad <=k.
Gesucht ist eine Bestapproximation p aus [mm] P^k [/mm] an f ducrh die Bed.
[mm]\integral_{a}^{b} (f(x)-p(x))*x^j dx = 0 für j=0,1,...,k[/mm].
Man soll ziegen, dass das Probelm eine eindeutige Lösung besitzt.
Dazu soll ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden, durch das man eine Lösung finden kann und nachweisen, dass die dabei auftretende Matrix symmetrisch, positiv definit ist.
Hier liegt mein Problem:
Ich finde kein passendes LGS.
Wenn ich das hätte, käme ich bestimmt weiter.
Vielleicht kann mir jemand beim LGS einen Tipp geben!
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Hallo
Ich bin auch beim Esser und arbeite an der Aufgabe aber ein Stückchen weiter
ich habe (f(x)-p(x), [mm] x^j) [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} (f(x)-p(x))x^j\, [/mm] dx = 0 j =0,1,2,..k
gesetzt.
mit p(x) = [mm] a_k *x^k [/mm] + ... + [mm] a_1*x +a_0
[/mm]
für alle j einsetzen und es ergibt sich ein LGS.
Achtung mit dem j=k als erste Gleichung anfangen und dann bis j=0 runtergehen sonst wird die Matrix nicht symmetrisch. Ich weis aber noch nicht wie ich positive Definitheit zeigen soll.
Zwischenschritt:
[mm] \int_{a}^{b} (f(x)-(a_k [/mm] * [mm] x^k [/mm] + ... + [mm] a_0))x^j\, [/mm] dx = 0
[mm] \int_{a}^{b} f(x)x^j\, [/mm] dx - [mm] a_k [/mm] * [mm] \int_{a}^{b} x^{j+k}\, [/mm] dx - .... - [mm] a_0 \int_{a}^{b} x^j\,dx [/mm] = 0
für j die werte einzusetzen brauche ich jawohl nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Di 07.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hy Leute, tüftele gerade auch an dieser Aufgabe!
Habe mal versucht deinen Tipp umzusetzen, weiß aber nicht so recht, was ich da tun muss!
Kann mir mal jemand den ersten Schritt vorführen, damit ich weiterkomme?Stehe echt auf dem Schlauch!!!!
Danke schonmal im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Dein Ansatz scheint gut zu sein!
Ich habe nach deinen Angaben mal versucht, das LGS aufzustellen.
Dann ist die Matrix A eine reelle (2k+1)x(2k+1)-Matrix, die aber nicht symmetrisch ist!
Vielleicht habe ich auch was falsch gemacht.
Schreib doch bitte mal ansatzweise auf, wie die ersten Zeilen deiner Matrix aussehen!
Sonst kommen wir nicht weiter und können natürlich auch nicht über spd nachdenken!
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:07 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo ihr beiden,
wir haben uns auch mal mit der Aufgabe beschäftigt und sind jetzt zu dem Schluß gekommen, dass die Matrix ansatzweise symmetrisch ist (ganz rechts unten). Aber ansonsten haben wir nur eine Regelmäßigkeit, aber keine Symmetrie feststellen können!!
Seid ihr da weitergekommen???
Und noch eine Frage, was habt ihr als Stammfunktion zu f(x) verwendet und wie habt ihr dann die partiellen Ableitungen berechnet??
Gruß Jörg und Rebekka
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