Best. Realteil und Imaginärtei < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 04.09.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Von der komplexen Zahl z bestimme man Real- und Imaginärteil:
[mm] z1=(2e^{i\pi/6})^{18}
[/mm]
und
[mm] z2=64(sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] i\wurzel{3} [/mm] + [mm] cos^{2}\alpha )^{-6} [/mm] |
Hallo,
ich dachte mir es könnte über eine Umformung in trigonometrische Form klappen, also:
[mm] z=(2e^{i\pi/6})^{18}
[/mm]
[mm] z=(2[cos(\pi/6) [/mm] + [mm] sin(\pi/6)i])^{18} [/mm]
[mm] z=(2[\wurzel{3}/2 [/mm] + [mm] 1/2i])^{18} [/mm]
z= [mm] (\wurzel{3}+i)^{18}
[/mm]
Als Ergebnis wird allerdings [mm] -2^{18}( [/mm] -> also Imaginärteil = 0) aufgeführt.
Bei der zweiten Aufgabe hängt es ebenfalls. Ich habe ersteinmal wieder umgeformt:
[mm] z2=64(sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] i\wurzel{3} [/mm] + [mm] cos^{2}\alpha )^{-6} [/mm]
z2=64(1 + [mm] i\wurzel{3} )^{-6}
[/mm]
um i aus dem Nenner zu bekommen habe ich mit [mm] (\bruch{1 - i\wurzel{3} }{1 - i\wurzel{3} })^{6} [/mm] erweitert. Ich komme so auf
[mm] z2=\bruch{(1 - i\wurzel{3} )^{6}}{64}
[/mm]
was mich jedoch trotzdem nicht zum richtigen Ergebnis von 1 führt
Könnte mir jemand helfen?
Vielen Dank
Carl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 04.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Von der komplexen Zahl z bestimme man Real- und
> Imaginärteil:
>
> [mm]z1=(2e^{i\pi/6})^{18}[/mm]
>
> und
>
> [mm]z2=64(sin^{2}\alpha[/mm] + [mm]i\wurzel{3}[/mm] + [mm]cos^{2}\alpha )^{-6}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich dachte mir es könnte über eine Umformung in
> trigonometrische Form klappen, also:
>
> [mm]z=(2e^{i\pi/6})^{18}[/mm]
>
> [mm]z=(2[cos(\pi/6)[/mm] + [mm]sin(\pi/6)i])^{18}[/mm]
>
> [mm]z=(2[\wurzel{3}/2[/mm] + [mm]1/2i])^{18}[/mm]
Eine komplexe Zahl wird mit 18 potenziert, indem
- der Betrag hoch 18 genommen wird
- das Argument mit 18 multipliziert wird.
Man erhält 2^18 als Betrag und [mm] 18*\pi /6=3\pi [/mm] als Argument.
Das ergibt tatsächlich die reelle Lösung [mm] -2^{18}
[/mm]
>
> z= [mm](\wurzel{3}+i)^{18}[/mm]
>
> Als Ergebnis wird allerdings [mm]-2^{18}([/mm] -> also Imaginärteil
> = 0) aufgeführt.
>
>
> Bei der zweiten Aufgabe hängt es ebenfalls. Ich habe
> ersteinmal wieder umgeformt:
>
> [mm]z2=64(sin^{2}\alpha[/mm] + [mm]i\wurzel{3}[/mm] + [mm]cos^{2}\alpha )^{-6}[/mm]
>
> z2=64(1 + [mm]i\wurzel{3} )^{-6}[/mm]
>
> um i aus dem Nenner zu bekommen habe ich mit [mm](\bruch{1 - i\wurzel{3} }{1 - i\wurzel{3} })^{6}[/mm]
> erweitert. Ich komme so auf
>
> [mm]z2=\bruch{(1 - i\wurzel{3} )^{6}}{64}[/mm]
Das ist unnötig. Zwei komplexe Zahlen (64 und [mm] (1+i*\wurzel{3})^6 [/mm] ) werden dividiert, indem man ihre Betrage dividiert und die Argumente subtrahiert.
Beträge: [mm] 64/2^6=1
[/mm]
Argumente (im Gradmaß): 0° - 6*60° = -360° (entspricht 0°).
Gruß Abakus
>
> was mich jedoch trotzdem nicht zum richtigen Ergebnis von 1
> führt
>
> Könnte mir jemand helfen?
>
> Vielen Dank
>
> Carl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 04.09.2008 | | Autor: | carl1990 |
Vielen Dank erstmal! Soweit habe ich es verstanden. Woher kommt allerdings, dass negative Vorzeichen von [mm] -2^{18}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 04.09.2008 | | Autor: | chrisno |
[mm] $e^{-i\pi}=-1$
[/mm]
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