Best. Lage Geraden zueinander < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mi 09.05.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
$ [mm] g_{1}: \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2} [/mm] $ + [mm] $\lambda_1$ [/mm] $ * [mm] \vektor{-1,5 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] g_{2}: \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 2} [/mm] $ + [mm] $\lambda_2$ [/mm] $ * [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] g_{3}: \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 2} [/mm] $ + [mm] $\lambda_3$ [/mm] $ * [mm] \vektor{1 \\ -1,5 \\ 0} [/mm] $ |
Hallo zusammen,
könnte sich jemand kurz meine Lösung anschauen und sagen ob es passt? Vielen Dank im Voraus.
$ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_2 [/mm] $ sind linear abhängig, da [mm] $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}= [/mm] (-2) * [mm] \begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_3 [/mm] $ sind nicht identisch, da [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ \ne $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\lambda$ $\begin{pmatrix}-1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] $ 0 = -1 [mm] -1,5$\lambda$ [/mm] = -0,66
4 = 0 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 4
2 = 2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 0
---------------------------------------------
$ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_3 [/mm] $ sind linear unabhängig
[mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\lambda$ $\begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa$ $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] $ -1 [mm] -1,5$\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa$
[/mm]
0 + [mm] $\lambda$ [/mm] = -2 - 1,5 [mm] $\kappa$ [/mm]
2 + 0 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + 0 [mm] $\kappa$ [/mm] --> 2 = 2
1: -1 [mm] -1,5$\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa$
[/mm]
2: [mm] $\lambda$ [/mm] = -2 - 1,5 [mm] $\kappa$ [/mm] *(-1,5)
2a: [mm] -1,5$\lambda$ [/mm] = 3 + 2,25 [mm] $\kappa$
[/mm]
1 - 2a: -1 = -1 - 1,25 [mm] $\kappa$
[/mm]
0 = [mm] $\kappa$ [/mm] 1a
1a in 1: -1 - 1,5 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + 0
-1 - 1,5 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2
- 1,5 [mm] $\lambda$ [/mm] = 3
[mm] $\lambda$ [/mm] = -2
[mm] $\lambda$ [/mm] = -2
[mm] $\kappa$ [/mm] = 0
in 1: -1 -1,5(-2) = 2
-1 + 3 = 2
2 = 2
in 2: -2 = -2 -1,5(0)
-2 = -2
[mm] $g_1$: [/mm] -1 -2(-1,5) = 2
0 - 2 * 1 = -2
2 - 2 * 0 = 2
[mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $g_2$: [/mm] 2 + 0 * 1 = 2
-2 + 0 *(-1,5) = -2
2 + 0 * 0 = 2
[mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_3 [/mm] $ haben einen Schnittpunkt und zwar: [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
---------------------------------------------
$ [mm] g_2 [/mm] $ und $ [mm] g_3 [/mm] $ sind linear unabhängig
[mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\lambda$ $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1,5 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] $ 0 + 3 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa$
[/mm]
4 - 2 [mm] $\lambda$ [/mm] = -2 - 1,5 [mm] $\kappa$ [/mm]
2 + 0 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + 0 [mm] $\kappa$ [/mm] --> 2 = 2
1: 3 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa$
[/mm]
2: 4 - 2 [mm] $\lambda$ [/mm] = -2 - 1,5 [mm] $\kappa$ [/mm] *1,5
2a: 6 - 3 [mm] $\lambda$ [/mm] = -3 - 2,25 [mm] $\kappa$
[/mm]
2a + 1: 6 = -1 - 1,25 [mm] $\kappa$
[/mm]
7 = 1,25 [mm] $\kappa$
[/mm]
-5,6 = [mm] $\kappa$ [/mm] 2b
2b in 1: 3 [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 - 5,6
3 [mm] $\lambda$ [/mm] = -3,6
[mm] $\lambda$ [/mm] = -1,2
[mm] $\lambda$ [/mm] = -1,2
[mm] $\kappa$ [/mm] = -5,6
in 2: 4 - 2(-1,2) = -2 -1,5(-5,6)
6,4 = 6,4
in 1: 3(-1,2) = 2 - 5,6
-3,6 = -3,6
[mm] $g_2$: [/mm] 0 - 1,2(3) = -3,6
4 - 1,2(-2) = 6,4
2 - 1,2 * 0 = 2
[mm] $\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $g_3$: [/mm] 2 - 5,6 * 1 = -3,6
-2 - 5,6(-1,5) = 6,4
2 - 5,6 * 0 = 2
[mm] $\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] g_1 [/mm] $ und $ [mm] g_3 [/mm] $ haben einen Schnittpunkt und zwar: [mm] $\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?
> Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
>
> [mm]g_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] [mm]* \vektor{-1,5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]g_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] [mm]* \vektor{3 \\ -2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]g_{3}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] [mm]* \vektor{1 \\ -1,5 \\ 0}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> könnte sich jemand kurz meine Lösung anschauen und sagen ob
> es passt? Vielen Dank im Voraus.
>
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] sind linear abhängig, da [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}= (-2) * \begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_3[/mm] sind nicht identisch, da [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\ne[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}-1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 = -1 -1,5[mm]\lambda[/mm] = -0,66
> 4 = 0 + [mm]\lambda[/mm] = 4
> 2 = 2 + [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> ---------------------------------------------
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_3[/mm] sind linear unabhängig
>
Das ist okay, aber statt linear abhängig sagt man bei Geraden parallel, also [mm] g_{1}\parallel g_{2}, [/mm] liegt der Stützpunkt der einen auf der anderen sind sie sogar gleich.
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} -1,5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\kappa[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] -1 -1,5[mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa[/mm]
> 0 + [mm]\lambda[/mm] = -2 - 1,5 [mm]\kappa[/mm]
> 2 + 0 [mm]\lambda[/mm] = 2 + 0 [mm]\kappa[/mm] --> 2 = 2
>
> 1: -1 -1,5[mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa[/mm]
> 2: [mm]\lambda[/mm] = -2 - 1,5 [mm]\kappa[/mm] *(-1,5)
>
> 2a: -1,5[mm]\lambda[/mm] = 3 + 2,25 [mm]\kappa[/mm]
>
> 1 - 2a: -1 = -1 - 1,25 [mm]\kappa[/mm]
> 0 = [mm]\kappa[/mm] 1a
>
> 1a in 1: -1 - 1,5 [mm]\lambda[/mm] = 2 + 0
> -1 - 1,5 [mm]\lambda[/mm] = 2
> - 1,5 [mm]\lambda[/mm] = 3
> [mm]\lambda[/mm] = -2
>
> [mm]\lambda[/mm] = -2
> [mm]\kappa[/mm] = 0
>
> in 1: -1 -1,5(-2) = 2
> -1 + 3 = 2
> 2 = 2
>
> in 2: -2 = -2 -1,5(0)
> -2 = -2
>
>
> [mm]g_1[/mm]: -1 -2(-1,5) = 2
> 0 - 2 * 1 = -2
> 2 - 2 * 0 = 2
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]g_2[/mm]: 2 + 0 * 1 = 2
> -2 + 0 *(-1,5) = -2
> 2 + 0 * 0 = 2
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_3[/mm] haben einen Schnittpunkt und zwar:
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ---------------------------------------------
>
> [mm]g_2[/mm] und [mm]g_3[/mm] sind linear unabhängig
Schreib besser: sie sind nicht Parallel.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\kappa[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1,5 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 + 3 [mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa[/mm]
> 4 - 2 [mm]\lambda[/mm] = -2 - 1,5 [mm]\kappa[/mm]
> 2 + 0 [mm]\lambda[/mm] = 2 + 0 [mm]\kappa[/mm] --> 2 = 2
>
> 1: 3 [mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa[/mm]
> 2: 4 - 2 [mm]\lambda[/mm] = -2 - 1,5 [mm]\kappa[/mm] *1,5
>
> 2a: 6 - 3 [mm]\lambda[/mm] = -3 - 2,25 [mm]\kappa[/mm]
>
> 2a + 1: 6 = -1 - 1,25 [mm]\kappa[/mm]
> 7 = 1,25 [mm]\kappa[/mm]
> -5,6 = [mm]\kappa[/mm] 2b
>
> 2b in 1: 3 [mm]\lambda[/mm] = 2 - 5,6
> 3 [mm]\lambda[/mm] = -3,6
> [mm]\lambda[/mm] = -1,2
>
> [mm]\lambda[/mm] = -1,2
> [mm]\kappa[/mm] = -5,6
>
> in 2: 4 - 2(-1,2) = -2 -1,5(-5,6)
> 6,4 = 6,4
>
>
> in 1: 3(-1,2) = 2 - 5,6
> -3,6 = -3,6
>
>
> [mm]g_2[/mm]: 0 - 1,2(3) = -3,6
> 4 - 1,2(-2) = 6,4
> 2 - 1,2 * 0 = 2
>
> [mm]\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]g_3[/mm]: 2 - 5,6 * 1 = -3,6
> -2 - 5,6(-1,5) = 6,4
> 2 - 5,6 * 0 = 2
>
> [mm]\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_3[/mm] haben einen Schnittpunkt und zwar:
> [mm]\begin{pmatrix} -3,6 \\ 6,4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Ist okay.
Nur: Geraden sind nicht lin. abhängig, das geht nur bei Vektoren. Geraden haben (im [mm] \IR³ [/mm] ) vier Möglichkeiten der Lage zueinander:
(in der Reihenfolge würde ich auch Prüfen:
1) Parallel.
ja: dann prüfe auf 2) Gleichheit
3) wenn nicht parallel, haben sie 3) einen Schnittpunkt??
Wenn nicht, sind sie weder Parallel, noch schneiden sie sich, man nennt das dann 4) windschief
Marius
Marius.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 09.05.2007 | | Autor: | itse |
ich hab linear abhängig geschrieben, weil dies so in meinem Mathebuch steht. Die Geraden werden doch durch die Komponenten des Vektors beschrieben? Somit kann man doch auch linear abhängig schreiben, ist nur eine andere Ausdrucksweise als parallel (||), oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn das so im Buch steht, und dein Lehrer auch nichts anderes sagt, übernimm die Formulierung, auch wenn sie in meinen Augen ziemlich unglücklich ist.
Marius.
Ich starte die Frage mal hier als Umfrage, dann können sich andere auch noch an der Diskussion beteiligen.
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