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| Aufgabe | Für jedes abzählbar unendliche ON-System [mm] (a_{i})_{i\in\IN} [/mm] in V und jedes [mm] v\in [/mm] V gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} ² \le [/mm] |v|²
Beweis:
Setzt man [mm] U=sp(a_{i},...,a_{k}), [/mm] so folgt mit
|v-u|² [mm] \ge |v-\pi(v)|²=|\pi'(v)|²=|v|²-|\pi(v)|²
[/mm]
sofort
[mm] |v-\summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}a_{i}|²\ge|v-\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-|\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-\summe_{i=1}^{k}²
[/mm]
Grenzübergang [mm] k\to\infty [/mm] liefert die Behauptung. |
Hallo ihr Lieben.
Bei meinen Vorbereitungen auf die Klausur, bin ich in der Vorlesung über diesen Beweis gestolpert und versteh ihn einfach nicht. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen? Vielleicht sei noch als zusätzliche Erklärung gesagt, dass [mm] \pi:V\to [/mm] U und [mm] \pi': V\to U\perp [/mm] die orthogonalen Projektionen von V auf den Untervektorraum U und sein orthogonales Komplement sind.
Falls noch weitere Informationen zum Verständnis des Beweises fehlen einfach nachfragen...
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> Für jedes abzählbar unendliche ON-System [mm](a_{i})_{i\in\IN}[/mm]
> in V und jedes [mm]v\in[/mm] V gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} ² \le[/mm] |v|²
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es müsste heissen:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \red{|}\red{|}^2 \le |v|^2[/mm]
>
> Beweis:
> Setzt man [mm]U=sp(a_{i},...,a_{k}),[/mm] so folgt mit
> [mm]|v-u|^2 \red{\ge} |v-\pi(v)|^2=|\pi'(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2[/mm]
Die erste, rot markierte Ungleichung nützt für den Beweis gar nichts. Der Rest ist einfach "Pythagoras": wegen [mm] $v=\pi(v)+\pi'(v)$ [/mm] und [mm] $\pi(v)\perp \pi'(v)$ [/mm] ist [mm] $|v|^2=|\pi(v)|^2+|\pi'(v)|^2$, [/mm] also insbesondere [mm] $|v-\pi(v)|^2=|\pi'(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2\blue{\geq 0}$
[/mm]
> sofort
>
> [mm]|v-\summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}a_{i}|²\red{\ge}|v-\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-|\summe_{i=1}^{k}a_{i}|²=|v|²-\summe_{i=1}^{k}\red{|}\red{|}² \blue{\geq 0}[/mm]
Auch hier ist das erste Ungleichheitzeichen für den Beweis gänzlich irrelevant. Der Rest ist nur die Ungleichung [mm] $|v-\pi(v)|^2=|v|^2-|\pi(v)|^2\blue{\geq 0}$, [/mm] bei der mit Hilfe des Skalarproduktes die Projektion [mm] $\pi(v)$ [/mm] von $v$ auf $U$ ausgedrückt wurde. Das wirklich relevante Ungleichheitszeichen habe ich hier blau erst noch einfügen müssen.
> Grenzübergang [mm]k\to\infty[/mm] liefert die Behauptung.
> Hallo ihr Lieben.
>
> Bei meinen Vorbereitungen auf die Klausur, bin ich in der
> Vorlesung über diesen Beweis gestolpert und versteh ihn
> einfach nicht. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
> Vielleicht sei noch als zusätzliche Erklärung gesagt, dass
> [mm]\pi:V\to[/mm] U und [mm]\pi': V\to U\perp[/mm] die orthogonalen
> Projektionen von V auf den Untervektorraum U und sein
> orthogonales Komplement sind.
> Falls noch weitere Informationen zum Verständnis des
> Beweises fehlen einfach nachfragen...
Dieser Beweis enthält (neben einem kleinen Schreibfehler: [mm] $^2$ [/mm] statt, richtiger, [mm] $||^2$) [/mm] eine ganz überflüssige einleitende Ungleichung. Um die so gestiftete Verwirrung zu vervollständigen, fehlt dafür am anderen Ende der Umformungskette das entscheidende Ungleichheitszeichen [mm] $\geq [/mm] 0$.
Fazit: Entweder hatte der Prof. einen schlechten Tag oder Deine Vorlesungsnotizen sind unvollständig oder der Prof. wollte euch zu selbständigem Denken anregen 
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