Beschränktheit von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 20.07.2005 | | Autor: | annaL |
Ich habe eine Aufgabe mit Lösung bekommen, wo ich die Lösung leider gar nicht nachvollziehen kann.
Vielleicht kann mir jemand erklären was gemacht wurde?
DANKE!!
Ich soll zeigen dass die Funktion R-->R w(x) = [mm] \bruch{x^2+x+7}{x^4+2} [/mm] beschränkt ist.
Lösung:
Definition : [mm] \vmat{ w(x) } \le [/mm] K , für alle x Element aus R ( K [mm] \ge [/mm] 0)
1. Fall:
Sei x Element [ -1, 1 ] , d.h. [mm] \vmat{x} \le [/mm] 1
--> [mm] \vmat{w(x)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+x+7}{x^4+2} [/mm] ( der Zähler ist hier
komplett als Betrag geschrieben!!! WIESO? ) [mm] \le \bruch{x^2+x+7}
[/mm]
[mm] {x^4+2} [/mm] ( hier steht nur noch das x im Zähler in Betragszeichen! ) [mm] \le
[/mm]
[mm] \bruch{1+1+7}{2} [/mm] = 4,5
2.Fall: Sei [mm] \vmat{x} [/mm] > 1
--> [mm] \vmat{w(x)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+x+7}{x^4+2} [/mm] ( wieder der gesamte
Zähler in Betragszeichen! ) [mm] \le \bruch{x^2+x+7}{x^4} [/mm] ( das x im Zähler
als Betrag geschrieben! ) [mm] \le \bruch{x^4+7x^4+x^4}{x^4} [/mm] = 9
Also gilt: [mm] \vmat{w(x)} \le [/mm] 9 , d. h w(x) ist beschränkt!
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand erklären könnte was hier gemacht wurde. die Lösung wirft mir schon seit einigen Stunden Rätsel auf!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mi 20.07.2005 | | Autor: | statler |
> Ich habe eine Aufgabe mit Lösung bekommen, wo ich die
> Lösung leider gar nicht nachvollziehen kann.
> Vielleicht kann mir jemand erklären was gemacht wurde?
> DANKE!!
>
> Ich soll zeigen dass die Funktion R-->R w(x) =
> [mm]\bruch{x^2+x+7}{x^4+2}[/mm] beschränkt ist.
>
> Lösung:
>
>
> Definition : [mm]\vmat{ w(x) } \le[/mm] K , für alle x Element aus
> R ( K [mm]\ge[/mm] 0)
>
> 1. Fall:
> Sei x Element [ -1, 1 ] , d.h. [mm]\vmat{x} \le[/mm] 1
>
>
> --> [mm]\vmat{w(x)}[/mm] = [mm]\bruch{x^2+x+7}{x^4+2}[/mm] ( der Zähler ist
> hier
>
> komplett als Betrag geschrieben!!! WIESO? ) [mm]\le \bruch{x^2+x+7}[/mm]
>
Naja, der Betrag eines Bruches ist natürlich gleich Betrag Zähler durch Betrag Nenner, und der Betrag des Nenners ist in diesem Fall gleich dem Nenner, weil der immer positiv ist (xhoch4 ist immer positiv, weil gerade Potenz).
> [mm]{x^4+2}[/mm] ( hier steht nur noch das x im Zähler in
> Betragszeichen! ) [mm]\le[/mm]
>
> [mm]\bruch{1+1+7}{2}[/mm] = 4,5
>
Wenn ich xhoch4 im Nenner weglasse, mache ich den Nenner kleiner, also den Bruch größer; im Zähler kann ich mit der Dreiecksungleichung herumwerkeln, dann stehen die Summanden als Beträge da und der Zähler wird dabei höchstens größer, jedenfalls nicht kleiner, und dann kann ich ohne den Wert zu ändern die Betragsstriche in ein Produkt ziehen (Betrag ist ein Homomorphismus) und bei 7 kann ich sie auch weglassen, weil 7 positiv ist; für xBetrag setze ich dann den größtmöglichen Wert 1 (der ist hier 1) das macht das ganze Gebilde wieder höchstens größer, und dann hat man das Ergebnis.
>
> 2.Fall: Sei [mm]\vmat{x}[/mm] > 1
>
> --> [mm]\vmat{w(x)}[/mm] = [mm]\bruch{x^2+x+7}{x^4+2}[/mm] ( wieder der
> gesamte
>
> Zähler in Betragszeichen! ) [mm]\le \bruch{x^2+x+7}{x^4}[/mm] (
> das x im Zähler
>
> als Betrag geschrieben! ) [mm]\le \bruch{x^4+7x^4+x^4}{x^4}[/mm] =
> 9
>
>
> Also gilt: [mm]\vmat{w(x)} \le[/mm] 9 , d. h w(x) ist beschränkt!
>
Hier läuft es ganz ähnlich: Ich mache den Nenner kleiner und den Zähler größer; weil xBetrag größer als 1 ist, kann ich im Zähler munter damit herummultiplizieren, und der Wert des Bruches wird immer nur größer und am Ende sehe ich, daß er trotzdem kleiner als 9 bleibt. Schön, nicht?
> Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand erklären könnte
> was hier gemacht wurde. die Lösung wirft mir schon seit
> einigen Stunden Rätsel auf!
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Ich hoffe, daß du mit meinem Elaborat was anfangen kannst, und wünsche einen schönen Abend.
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