Beschränktheit stetiger Fkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Di 20.11.2007 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $f:[0,\infty[\to\IR$ [/mm] eine stetige Funktion, die in [mm] $\infty$ [/mm] den Grenzwert [mm] $b\in\IR$ [/mm] hat. Zeigen Sie, dass $f$ beschränkt ist. |
Guten Morgen!
Ich habe für diese Aufgabe zwar einen Ansatz bin mir aber der Korrektheit nicht ganz sicher (Vorallem was die endgültige Vormulierung angeht).
Hier erst einmal der Anfang:
$f$ ist nach Voraussetzung stetig mit [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x)=b$ [/mm] d.h.
[mm] $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta>0$ [/mm] so dass [mm] $\forall x\in D:(x>\frac{1}{\delta}\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon)$
[/mm]
Wählen wir nun ein solches [mm] $\delta$ [/mm] beliebig aber fest und betrachten das Intervall [mm] $D'\subset [/mm] D$ mit [mm] $D':=[0,\frac{1}{\delta}]$.
[/mm]
Nach Satz (Existenz von Min und Max) nimmt die stetige Fkt $f$ auf dem kompakten Intervall $D'$ Minimum und Maximum an. D.h. es gibt [mm] $m,M\in [/mm] D'$ mit $M=sup f(D')$ und $m=inf f(D')$ also [mm] $m\leq f(D')\leq [/mm] M$ [mm] $\forall x\in [/mm] D'$.
Da unser [mm] $\delta$ [/mm] belliebig war gilt diese Aussage für alle [mm] $\delta\in\IR\backslash\{0\}$ [/mm] und somit auch für $D$.
Und diese letzte (obige) Aussage ist der Teil der mir zu 'schwammig' erscheint bei dem ich euch um Rat frage.
Der Rest dann wie folgt:
Sei nun $S:=max(|m|,|M|,|b|)$ dann ist [mm] $f(D)\leq S\forall x\in [/mm] D$ und somit die Beschränkheit von $f$.
Obwohl hier bin ich mir nicht sicher ob $m,M$ nicht von [mm] $\delta$ [/mm] abhängig sind und besser [mm] $S:=max(|m|_\delta [/mm] , [mm] |M|_\delta [/mm] ,b)$ dastünde.
für jedwede Hilfe dankbar verbleibt mit freundlichem Gruß Sashman.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Di 20.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
dein Ansatz ist gut. Du bist bis hier hin richtig gekommen.
Auf dem kompaktem Intervall [mm] [0,\delta] [/mm] ist f stetig, besitz also Minimum und Maximum.
Ab hier war es dann nicht mehr richtig. Das [mm] \delta [/mm] ist nicht beliebig, sondern ist durch die Wahl von [mm] \epsilon [/mm] vorgegeben. Das stört aber nicht, denn das Ende des Beweises ist jetzt nicht mehr schwer:
Für x aus [mm] (\delta,unendlich) [/mm] gilt ja:
[mm] lf(x)-bl<\epsilon [/mm] für das vorgegene [mm] \epsilon, [/mm] also gilt:
[mm] -\epsilon
[mm] -\epsilon+b
Also ist f beschränkt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 20.11.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin Hund!
Hab das ganze so abgeändert:
[mm] $|f(x)|=|f(x)-b+b|\leq |f(x)-b|+|b|<\varepsilon [/mm] + [mm] |b|\forall x>\frac{1}{\delta}$
[/mm]
dann muss es natürlich heissen:
es gibt [mm] $m,M\in [/mm] D'$ mit $f(m)=inf f(D')$ und $f(M)= sup f(D')$
nun zeigt sich wie oben, dass:
[mm] $S:=max(|f(m)|,|f(M)|,(|b|+\varepsilon))$ [/mm] eine Schranke von $f$ ist.
Danke für die Antwort
mFg Sashman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Di 20.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das kannst du natürlich so abändern. Es ist alles richtig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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