Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Folge :
[mm] a_{n}=-\bruch{2n^{2}+n}{n^{2}}
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. |
Wie zeige ich mathematisch, dass diese folge beschränkt ist?
Ich habe folgendes gemacht:
Zuerst die Folge umgeformt:
[mm] -\bruch{2n^{2}+n}{n^{2}} [/mm] = [mm] -2-\bruch{1}{n}
[/mm]
dann die 1. 3 Glieder ausgerechnet:
[mm] a_{1} [/mm] =-3
[mm] a_{2}=-2,5
[/mm]
[mm] a_{3}=-2,33
[/mm]
das bestätigt das die folge monoton wachsend sein soll.
Beweis der Monotonie:
Induktionsvorraussetung:
[mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
Induktionshypothese:
[mm] a_{n+1} \le a_{n+2}
[/mm]
[mm] Induktionsschritt:a_{n}\to{n+1}
[/mm]
n [mm] \le [/mm] n+1 |+1
n+1 [mm] \le [/mm] n+2 |Reziprog
[mm] \bruch{1}{n+1} \ge \bruch{1}{n+2} [/mm] |*(-1)
[mm] -\bruch{1}{n+1} \le -\bruch{1}{n+2} [/mm] |+(-2)
[mm] -2-\bruch{1}{n+1} \le -2-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
somit habe ich also Monotonie bewiesen.
Wie zeige ich jetzt die Beschränktheit?
Ich weis das: -3 [mm] \le a_{n} \le [/mm] -2 gelten muß aber wie Beweise ich das?
Danke für die Hilfe schon mal im vorraus.
lg
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Das sieht nach Denkblockade aus. Du hast doch schon richtig anschaulich umgeformt.
Es gilt doch [mm] \forall n\in\IN:\bruch{1}{n}>0
[/mm]
Mehr Material brauchst Du nicht.
Was lässt sich denn über -2-bruch{1}{n} sagen?
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Danke für die Antwort. Ich wollte eigentlich wissen ob ich das per Induktion auch beweisen kann was ja eigentlich schon offensichtlich ist.
Mir geht es um den Beweis nur weis ich nicht wie ich den machen soll.
Basis: n=1 -3 [mm] \le [/mm] -3 [mm] \le [/mm] -2
Induktionsbasis: -3 [mm] \le a_{n} \le [/mm] -2
Induktionshypothese: -3 [mm] \le a_{n+1} \le [/mm] -2
n [mm] \to [/mm] n+1
-3 [mm] \le a_{n} \le [/mm] -2
-3 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] -2
-3+1 [mm] \le [/mm] n+1 [mm] \le [/mm] -2+1
[mm] -\bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{n+1} \ge -\bruch{1}{1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \le -\bruch{1}{n+1} \le [/mm] 1
[mm] -2+\bruch{1}{2} \le -2-\bruch{1}{n+1} \le [/mm] -2+1
ist ja offensichtlich nciht richtig.
wenn ich von -3 [mm] \le [/mm] -n [mm] \le [/mm] -2 ausgehen würde dann würde der beweis aber stimmen.
Wo liegt mein Fehler oder kann ich das so nicht beweisen?
lg
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Du bringst n und [mm] a_n [/mm] durcheinander. Schau nochmal hin, was Du da eigentlich rechnest. Der Induktionsschritt führt [mm] a_{n+1} [/mm] auf [mm] a_{n} [/mm] zurück, nicht n+1 auf n.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Sa 15.11.2008 | | Autor: | steirermat |
-3 [mm] \le -2-\bruch{1}{n} \le [/mm] -2 |-2
-1 [mm] \le -\bruch{1}{n} \le [/mm] 0 |*(-1)
1 [mm] \ge \bruch{1}{n} \ge [/mm] 0 |Rez
1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 0
[mm] \vdots
[/mm]
n kann ja nicht kleiner als 1 sein.
Die untere Schranke kann ich mit diesem weg beweisen aber bei der Oberen habe ich Probleme.
lg
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Kann jemand mir bitte sagen wo es bei meinem Beweis hakt? (posting oberhalb)
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo steirermat!
Zum einen solltest du hier zwei Teilungleichungen bilden und diese separat nachweisen.
Zum anderen gilt bei Dir [mm] $\bruch{1}{0} [/mm] \ = \ 0$ . Da sollte doch was "klick" machen, oder?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Handschellen, zum Beispiel.
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Untere Schranke:
-3 [mm] \le -2-\bruch{1}{n} [/mm] |+2
-1 [mm] \le -\bruch{1}{n} [/mm] | *(-1)
1 [mm] \ge \bruch{1}{n} [/mm] | Rez
1 [mm] \le [/mm] n |+1
2 [mm] \le [/mm] n+1 |Rez
[mm] \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{n} [/mm] |*(-1)
[mm] -\bruch{1}{2} \le -\bruch{1}{n} [/mm] |-2
[mm] -2-\bruch{1}{2} \le -2-\bruch{1}{n}
[/mm]
Obere schranke:
[mm] -2-\bruch{1}{n} \le [/mm] -2 |+2
[mm] -\bruch{1}{n} \le [/mm] 0| *(-1)
[mm] \bruch{1}{n} \ge [/mm] 0 | [mm] *n^{2}
[/mm]
n [mm] \ge [/mm] 0 |+1
n+1 [mm] \ge [/mm] 1 | Rez
[mm] \bruch{1}{n+1} \le [/mm] 1 |*(-1)
[mm] -\bruch{1}{n+1} \ge [/mm] -1 |-2
[mm] -2-\bruch{1}{n+1} \ge [/mm] -3
Diese Aussage ist richtig aber habe ich damit auch bewiesen das die Folge nach oben beschrämkt ist?
Irgendwie steh ich am Schlauch :(
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo steirermat!
Du musst hier jeweils umformen bis $n \ > \ ...$ bzw. $n \ < \ ...$ und anschließend überprüfen, ob dies eine wahre oder unwahre Aussage ergibt.
Zum Beispiel ergibt Deine obere Ungleichung zwischendrin: $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ .
Da $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] , ist dies eine wahre Aussage und die Behauptung gezeigt.
Gruß
Loddar
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Dass deine folge : -(2+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )beschränkt ist , ist doch trivial:
die konstante 2 st irrelevant deine Folge ist also abhängig von [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
dies ist doch aber eine strengmonotone Nullfolge
konvergiert also gegen Null, somit konvergiert deine folge gegen -2
und konvergenz ist doch wohl ein Beweis für beschränktheit, oder?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Folge :
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> [mm]a_{n}=-\bruch{2n^{2}+n}{n^{2}}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass die Folge monoton wachsend und nach oben
> beschränkt ist.
> Wie zeige ich mathematisch, dass diese folge beschränkt
> ist?
Indem du zeigst, dass kein Folgenglied -2 oder gar größer als -2 sein kann. Das ist hier offensichtlich, weil
[mm] -\bruch{2n^{2}+n}{n^{2}}=-2-\bruch{1}{n} [/mm] ist.
Für die Monotonie benötigst du auch keine Induktion.
Zeige einfach, dass [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] für alle n positiv ist.
Diese Differenz ist [mm] (-2-\bruch{1}{n+1} )-(-2-\bruch{1}{n}) [/mm] =1/n - 1/(n+1) [mm] =\bruch{1}{n(n+1)}>0
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Zuerst die Folge umgeformt:
> [mm]-\bruch{2n^{2}+n}{n^{2}}[/mm] = [mm]-2-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> dann die 1. 3 Glieder ausgerechnet:
>
> [mm]a_{1}[/mm] =-3
> [mm]a_{2}=-2,5[/mm]
> [mm]a_{3}=-2,33[/mm]
>
> das bestätigt das die folge monoton wachsend sein soll.
> Beweis der Monotonie:
>
> Induktionsvorraussetung:
> [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm]
>
> Induktionshypothese:
> [mm]a_{n+1} \le a_{n+2}[/mm]
>
> [mm]Induktionsschritt:a_{n}\to{n+1}[/mm]
>
> n [mm]\le[/mm] n+1 |+1
>
> n+1 [mm]\le[/mm] n+2 |Reziprog
>
> [mm]\bruch{1}{n+1} \ge \bruch{1}{n+2}[/mm] |*(-1)
>
> [mm]-\bruch{1}{n+1} \le -\bruch{1}{n+2}[/mm] |+(-2)
>
> [mm]-2-\bruch{1}{n+1} \le -2-\bruch{1}{n+2}[/mm]
>
> somit habe ich also Monotonie bewiesen.
>
> Wie zeige ich jetzt die Beschränktheit?
>
> Ich weis das: -3 [mm]\le a_{n} \le[/mm] -2 gelten muß aber wie
> Beweise ich das?
>
> Danke für die Hilfe schon mal im vorraus.
>
> lg
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