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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob der lineare Operator [mm] \delta: C[0,1]\to\IR, \delta(f)=f(0) [/mm] beschränkt ist, wenn [mm] C[0,1]\to\IR, [/mm] ausgestattet ist mit:
i) der Norm [mm] \parallel *\parallel_\infty
[/mm]
ii)der Norm [mm] \parallel*\parallel_1
[/mm]
Berechne gegebenfalls die Operatornorm von [mm] \delta. [/mm] |
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? ich weiß gar nicht, was ich da machen muss, und wie man da ran geht. wie verbinde ich den Operator mit der Norm?
ich habe schon in massig vielen Mathebüchern geblättert, aber verstehen tu ich es noch immer nicht!!!!
Bitte um Hilfe!!!! (idiotensichere Hilfe :)))
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Sind X und Y normierte Räume, so heißt eine lineare Abbildung A: X-->Y beschränkt
[mm] \gdw [/mm] {||Ax||: ||x||=1} ist beschränkt. In diesem Fall ist die Norm des Operators A gegeben durch
||A|| = sup{||Ax||: ||x||=1}
Zu i) hier ist X = C[0,1] und Y = [mm] \IR. [/mm] Die Norm auf X ist [mm] ||f||_{\infty} [/mm] = max{|f(t)| t [mm] \in [/mm] [0,1]}. Die Norm auf Y ist der Betrag.
Sei f [mm] \in [/mm] X und [mm] ||f||_{\infty}=1. [/mm] Dann ist [mm] ||\delta (f)||_{\infty} [/mm] = |f(0)| [mm] \le ||f||_{\infty} [/mm] = 1, also ist [mm] \delta [/mm] beschränkt und [mm] ||\delta|| \le [/mm] 1.
Sei g(t) = 1 (t [mm] \in [/mm] [0,1]), so [mm] ist||g||_{\infty}= [/mm] 1 und [mm] \delta(g) [/mm] = 1, somit ist [mm] ||\delta||=1
[/mm]
Nun versuch mal ii)
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 04.11.2012 | | Autor: | Kyres |
Ich habe Probleme mit der ii)
Es gilt: Ein linearer Operator A:X [mm] \to [/mm] Y ist beschränkt, wenn ein C [mm] \ge [/mm] 0 existiert mit
[mm] ||Ax||_Y \le [/mm] C [mm] ||x||_X
[/mm]
für i) gilt:
[mm] ||.||_Y= [/mm] |.|
[mm] ||.||_X=||.||_\infty [/mm] ,wie beschrieben
A = [mm] \delta [/mm] wie oben beschrieben
Zu Zeigen:
[mm] |\delta(f)| \le [/mm] C [mm] ||f||_\infty
[/mm]
Beweis:
Es gilt:
[mm] |\delta(f)| [/mm] = |f(0)| [mm] \le [/mm] max |f(x)| für [mm] 0\le x\le [/mm] 1 = [mm] ||f||_\infty [/mm] und somit ist für C=1 die Behauptung gezeigt.
für ii)
[mm] ||.||_Y= [/mm] |.|
[mm] ||.||_X=||.||_1 [/mm] ,wie beschrieben
A = [mm] \delta [/mm] wie oben beschrieben
Zu Zeigen:
[mm] |\delta(f)| \le [/mm] C [mm] ||f||_1
[/mm]
Beweis:
Es gilt:
[mm] |\delta(f)| [/mm] = |f(0)| und [mm] ||f||_1=\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}
[/mm]
aber wie kann ich das nun abschätzen und finde ein geeignetes C? Oder zeige, dass es nicht beschränkt ist und ein solches C nicht geben kann?
Und wie geht man vor, wenn man eine Operatornorm bestimmen will?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wäre [mm] \delta [/mm] bezügl. [mm] ||*||_1 [/mm] beschränkt, so müßte es ein C [mm] \ge [/mm] 0 geben mit
(*) |f(0)| [mm] \le [/mm] C* $ [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] $ für alle f [mm] \in [/mm] C[0,1]
Nun definiere [mm] f_n [/mm] wie folgt:
[mm] f_n(x)=-n^2x+n [/mm] , falls x [mm] \in [/mm] [0,1/n] und [mm] f_n(x):=0 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [1/n,1]
Mit der Folge [mm] (f_n) [/mm] schau Dir mal (*) an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Kyres |
Vielen Dank. Dann folgt: mit [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] als Integrationskonstanten
[mm] |fn(0)|=-n0^2+n=n \le [/mm] C * [mm] \integral_{0}^{1}{|fn(x)| dx}
[/mm]
[mm] =C*[(C_1 [/mm] - ( [mm] -\bruch{1}{2}*n^2x^2+nx+C_2) [/mm] ] über 0 1
= C * [mm] (C_1-0+0+C_2)=C_3 [/mm] mit C * [mm] (C_1-0+0+C_2):=C_3 [/mm] Konstante
und mit n [mm] \to \infty [/mm] folgt der Widerspruch [mm] \infty \le C_3
[/mm]
Somit ist die Behauptung gezeigt, dass der Operator nicht beschränkt ist.
Ist das so richtig?
Berechne gegebenfalls die Operatornorm von [mm] \delta. [/mm] Wie geht man dort vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank. Dann folgt: mit [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] als
> Integrationskonstanten
>
> [mm]|fn(0)|=-n0^2+n=n \le[/mm] C * [mm]\integral_{0}^{1}{|fn(x)| dx}[/mm]
>
> [mm]=C*[(C_1[/mm] - ( [mm]-\bruch{1}{2}*n^2x^2+nx+C_2)[/mm] ] über 0 1
> = C * [mm](C_1-0+0+C_2)=C_3[/mm] mit C * [mm](C_1-0+0+C_2):=C_3[/mm]
> Konstante
>
> und mit n [mm]\to \infty[/mm] folgt der Widerspruch [mm]\infty \le C_3[/mm]
Was treibst Du denn da ? Zeichne mal [mm] f_n, [/mm] dann siehst Du:
[mm] \integral_{0}^{1}{|fn(x)| dx}=1 [/mm] für alle n.
>
> Somit ist die Behauptung gezeigt, dass der Operator nicht
> beschränkt ist.
Wenn [mm] \delta [/mm] beschränkt wäre, gäbe es ein C [mm] \ge [/mm] 0 mit:
$n [mm] \le [/mm] C*1=C$ für alle n.
Das ist aber Quark.
>
> Ist das so richtig?
>
> Und wie bestimmt man zu eine Operatornorm?
Formuliere diese Frage so, dass man sie versteht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Kyres |
In der Aufgabenstellung steht:
Berechne gegebenfalls die Operatornorm von [mm] \delta. [/mm] Wie geht man da vor.
IN der Volesung hatten wir:
Ein linearer Operator [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y ist genau dann beschränkt, wenn
||A|| := [mm] sup_{||x||_X =1} ||Ax||_Y [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
gilt. ||A|| heißt Norm des Operators.
Daraus folgt doch, dass die Operatornorm nur im Fall i) existiert, weil der Operator in ii) nicht beschränkt ist. Oder?
UNd wie geht man vor, um diese Operatornorm zu bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> In der Aufgabenstellung steht:
>
> Berechne gegebenfalls die Operatornorm von [mm]\delta.[/mm] Wie geht
> man da vor.
>
> IN der Volesung hatten wir:
>
> Ein linearer Operator [mm]\delta:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y ist genau dann
> beschränkt, wenn
>
> ||A|| := [mm]sup_{||x||_X =1} ||Ax||_Y[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> gilt. ||A|| heißt Norm des Operators.
>
> Daraus folgt doch, dass die Operatornorm nur im Fall i)
> existiert, weil der Operator in ii) nicht beschränkt ist.
> Oder?
Ja
>
> UNd wie geht man vor, um diese Operatornorm zu bestimmen?
Ein Kochrezept gibts dafür nicht. Man muß eben [mm]sup_{||x||_X =1} ||Ax||_Y[/mm] bestimmen. Wie man das macht hängt von A ab.
FRED
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