Beschränktheit -> Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bevor ich endgültig ich mein warmes Bett verschwinde eine Verständnisfrage:
dazu eine
DEFINITION
Eine Folge reeller Zahlen in einen metrischen Raum (M,d) heißt beschränkt, wenn es ein K [mm] \in [/mm] M gibt, so dass für alle Folgenglieder x,y gilt:
d(x,y) < K.
Angenommen ich zeige, dass für eine Folge [mm] (b_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN) [/mm] gilt:
[mm] b_n [/mm] - [mm] b_n+1 [/mm] < 0
also wächst [mm] (b_{n}) [/mm] streng monoton.
Da wir uns in [mm] \IR [/mm] befinden könnte man ja eigentlich auch schreiben:
[mm] d(b_{n}, b_{n+1}) [/mm] < 0
Da 0 [mm] \in \IR, [/mm] habe ich auch gleich die Beschränktheit mitgezeigt???
Das würde ja suggerieren, dass immer wenn Folgen streng monoton sind, sie auch konvergieren, oder? Hilfe...
Irgendwas kann da nicht stimmen! Wo liegt mein Denkfehler?
gute nacht,
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> DEFINITION
> Eine Folge reeller Zahlen in einen metrischen Raum (M,d)
> heißt beschränkt, wenn es ein K [mm]\in[/mm] M gibt, so dass für
> alle Folgenglieder x,y gilt:
>
> d(x,y) < K.
>
>
> Angenommen ich zeige, dass für eine Folge [mm](b_{n},[/mm] n [mm]\in \IN)[/mm]
> gilt:
> [mm]b_n[/mm] - [mm]b_n+1[/mm] < 0
> also wächst [mm](b_{n})[/mm] streng monoton.
Richtig
> Da wir uns in [mm]\IR[/mm] befinden könnte man ja eigentlich auch
> schreiben:
> [mm]d(b_{n}, b_{n+1})[/mm] < 0
Wenn du auf R eine Metrik d definierst, dann muss sie natürlich auch die Eigenschaften einer Metrik haben, z. b. positive Definitheit, d. h. für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 und d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x = y.
Wenn du mit d die gewöhnliche Abstandsfunktion, also d(x,y) := |x - y| und |x - y| = x - y, wenn x > y und |x - y| = y - x sonst, bezeichnest, dann musst du ja aus [mm] b_{n} [/mm] - [mm] b_{n+1} [/mm] < 0 folgern, dass [mm] b_{n} \not= b_{n+1} [/mm] und damit [mm] d(b_{n},b_{n+1}) [/mm] > 0 für alle n.
> Da 0 [mm]\in \IR,[/mm] habe ich auch gleich die Beschränktheit
> mitgezeigt???
Nein, denn erstens hast du ja oben einen Fehler gemacht, aber zweitens hast du ja nur über die Abstände benachbarter Folgenglieder gesprochen und nicht über den Abstand zwischen zwei beliebigen Folgengliedern. Ein Beispiel zur Erhellung:
[mm] b_{n} [/mm] = n.
Es gilt offensichtlich [mm] d(b_{n},b_{n+1}) [/mm] = 1 < 2. Dann ist die 2 aber kein K, wie in der Definition von Beschränktheit gefordert, denn [mm] d(b_{4},b_{1}) [/mm] > 2. Man muss jedes Folgenglied mit jedem vergleichen und nicht nur benachbarte. Diese Folge ist zum Beispiel unbeschränkt. Denn ein gedachtes K wird sofort durch [mm] d(b_{1},b_{K + 2}) [/mm] = K + 1 > K widerlegt.
Gruß Clemens
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