Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Weisen Sie die Beschränktheit der Folge [mm] (a_n) [/mm] nach. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter und muss morgen abgeben. Ich dachte ich könnte die Beschränktheit mit Vollständiger Induktion zeigen.
Dabei setze ich voraus, das [mm] a_n \le [/mm] 1 ist.
I.A. A(1) [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] 1
I.S. A(n+1)
[mm] a_n_+_1 [/mm] = [mm] \summe_{k=n+2}^{2(n+1)}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{n+1}\le [/mm] I.V. [mm] 1+\bruch{1}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{n+1} \le [/mm] 1
Aber nach einsetzen der Induktionsvoraussetzung sieht man ja schon, dass es niemals kleiner gleich 1 sein kann. Aber das ist falsch.
Kann mir bitte jemand helfen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
ich modifiziere deine Umformung mal ein bisschen.
Und zwar gilt:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+2}^{2(n+1)}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n + 2} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}$
[/mm]
Nun finde damit eine andere Darstellung für [mm] $a_{n+1}$.
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
> Hiho,
>
> ich modifiziere deine Umformung mal ein bisschen.
> Und zwar gilt:
>
> [mm]a_{n+1} = \summe_{k=n+2}^{2(n+1)}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2n+2}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{n+1} = a_n + \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1} - \bruch{1}{n+1} + \bruch{1}{2n+1} = a_n + \bruch{1}{2n+1} - \bruch{1}{2n + 2} = a_n + \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
>
>
> Nun finde damit eine andere Darstellung für [mm]a_{n+1}[/mm].
Wäre das dann
= [mm] \bruch{2}{n(n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}
[/mm]
Aber wie soll mich das weiter bringen?
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Hiho,
> Wäre das dann = [mm]\bruch{2}{n(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
Eher nicht.
> Aber wie soll mich das weiter bringen?
Ok, ein noch grösserer Zaunpfahl:
Wir hatten ja bereits:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}\quad\gdw \quad a_{n+1}-a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}$ [/mm] für alle n
und [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} [/mm] - [mm] a_k)$
[/mm]
Der Rest ist ja nun wirklich nur noch einsetzen und wissen, was du über [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2}$ [/mm] weißt.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
Sorry, aber ich keine mich einfach rein überhaupt gar nicht aus.
> > Wäre das dann = [mm]\bruch{2}{n(n+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
>
> Eher nicht.
Eine Formel für [mm] a_n [/mm] muss ich gar nicht finden oder? Aber selbst wenn nicht, wie würde man auf diese Formel kommen? Mit dem Bruch komm ich nicht klar.
> Wir hatten ja bereits:
>
> [mm]a_{n+1} = a_n + \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}\quad\gdw \quad a_{n+1}-a_n = \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
> für alle n
>
> und [mm]a_1 = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun gilt:
>
> [mm]a_n = a_1 + \summe_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)[/mm]
Ich verstehe nicht, wie ich damit die Beschränktheit zeige?
Wenn ich das einsetze kommt raus
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}= \bruch{2n^2+3n+2}{4n^2+6n+2}
[/mm]
und wenn ich jetzt da das n² ausklammere und dann das n gegen unendlich laufen lasse bekomme ich den Grenzwert [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{n^2}{n^2}*\bruch{2+\bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^2}}{4+\bruch{6}{n}+\bruch{2}{n^2}}
[/mm]
Damit habe ich ja jetzt den Grenzwert gezeigt. Es ist klar, dass wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt sie auch beschränkt sein muss. Aber ist das nicht etwas umständlich um die Folge auf Beschränktheit zu prüfen?
Vielen Dank übrigens, dass du mir hilfst.
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Hiho,
> Eine Formel für [mm]a_n[/mm] muss ich gar nicht finden oder? Aber selbst wenn nicht, wie würde man auf diese Formel kommen? Mit dem Bruch komm ich nicht klar.
Die Formel hast du doch faktisch selbst hergeleitet in deiner Induktion.
Ich hab einfach nur [mm] a_n [/mm] wieder eingesetzt und ein bisschen zusammengefasst.
>
> > Wir hatten ja bereits:
> >
> > [mm]a_{n+1} = a_n + \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}\quad\gdw \quad a_{n+1}-a_n = \bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
> > für alle n
> >
> > und [mm]a_1 = \bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Nun gilt:
> >
> > [mm]a_n = a_1 + \summe_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wie ich damit die Beschränktheit zeige?
Wie du selbst gesagt hast: Zeigst du, dass [mm] a_n [/mm] eine konvergente Majorante hat, bist du fertig.
> Wenn ich das einsetze kommt raus
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}= \bruch{2n^2+3n+2}{4n^2+6n+2}[/mm]
Nein!
Du bist nicht konzentriert genug.
Da kommt raus: [mm]\bruch{1}{2}+ \summe_{n=1}^{n-1}\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
Nun hast du also eine Darstellung für [mm] $a_n$.
[/mm]
Meinen Tipp bezüglich [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}$ [/mm] hast du ja noch gar nicht verwendet. Du kannst also noch nicht fertig sein.
Tipp oben: Summe durch Reihe abschätzen und die entstehende Reihe mit Hilfe von [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}$ [/mm] abschätzen.
Was weißt du über [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}$ [/mm] ?
> Aber ist das nicht etwas umständlich um die Folge auf Beschränktheit zu prüfen?
"Umständlich" ist relativ. Du sollst ja auch lernen, wie man so etwas macht. Und eine Majorante zu finden, von der man weiß, dass sie beschränk/konvergent ist, ist nunmal ein normales Mittel, das man beherrschen sollte. Habt ihr in der Vorlesung sicherlich auch schon gemacht.
> Vielen Dank übrigens, dass du mir hilfst.
Das kannst du am Besten zurückzahlen, in dem du konzentriert arbeitest und Schusselfehler vermeidest!
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
> Nein!
> Du bist nicht konzentriert genug.
Ich bin so konzentriert, dass ich schon Kopfweh habe.
>
> Da kommt raus: [mm]\bruch{1}{2}+ \summe_{n=1}^{n-1}\bruch{1}{2(n+1)(2n+1)}[/mm]
>
> Nun hast du also eine Darstellung für [mm]a_n[/mm].
> Meinen Tipp bezüglich [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm]
> hast du ja noch gar nicht verwendet. Du kannst also noch
> nicht fertig sein.
>
> Tipp oben: Summe durch Reihe abschätzen und die
> entstehende Reihe mit Hilfe von [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm]
> abschätzen.
>
> Was weißt du über [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm] ?
Gar nichts. Über die Summe von [mm] 1/n^2 [/mm] haben wir nicht gesprochen.
Ich weis auch nicht wie ich da abschätzen soll.
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Hiho,
manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht..... vergiss mal den Ansatz, es geht viel einfacher:
[mm] $\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}$
[/mm]
Was ist der größte Summand?
Wie viele Summanden gibt es?
Schätze alle Summanden über den größten ab.
Fertig....
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
> Hiho,
>
> manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.....
> vergiss mal den Ansatz, es geht viel einfacher:
>
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> Was ist der größte Summand?
Das müsste [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein
> Wie viele Summanden gibt es?
Wenn bei n+1 Angefangen wird, so müsste es n geben oder?
> Schätze alle Summanden über den größten ab.
also [mm] \bruch{1}{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}
[/mm]
oder wie meinst du das? Aber wenn die Folge monoton wachsend ist, muss ich ja eher eine obere Grenze finden?. Ich weis auch gar nicht wie ich das abschätzen soll. Soll ich da dann eine Vollständige Induktion machen?
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Hiho,
> > Was ist der größte Summand?
> Das müsste [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein
Nein.
Das wäre er nur bei [mm] $a_1$
[/mm]
Du sollst aber den größten Summanden von [mm] a_n [/mm] angeben, also allgemein.
Es gilt doch:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n}$
[/mm]
Was ist davon der größte Summand?
> > Wie viele Summanden gibt es?
> Wenn bei n+1 Angefangen wird, so müsste es n geben oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Schätze alle Summanden über den größten ab.
> also [mm]\bruch{1}{2} \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm] oder
Nein. Du sollst das [mm] a_n [/mm] nach OBEN abschätzen, in dem du alle Summanden durch den größten ersetzt.
> Soll ich da dann eine Vollständige Induktion machen?
Nein. Herauskommen wird [mm] $a_n \le [/mm] 1$ für jedes n.
Da brauchts keine Induktion.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 24.11.2013 | | Autor: | Magehex |
> [mm]a_n = \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} = \bruch{1}{n+1} + \bruch{1}{n+2} + \ldots + \bruch{1}{2n-1} + \bruch{1}{2n}[/mm]
>
> Was ist davon der größte Summand?
Das ist dann [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Also sage ich
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}\le \bruch{1}{n+1}*n [/mm] (da es ja n Summanden gibt und damit die die rechte Seite der Ungleichung mit Sicherheit größer ist als die Linke.
Aber wie schätze ich das jetzt ab?
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Hiho,
> > [mm]a_n = \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} = \bruch{1}{n+1} + \bruch{1}{n+2} + \ldots + \bruch{1}{2n-1} + \bruch{1}{2n}[/mm]
>
> >
> > Was ist davon der größte Summand?
>
> Das ist dann [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
> Also sage ich
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k}\le \bruch{1}{n+1}*n[/mm] (da es
> ja n Summanden gibt und damit die die rechte Seite der
> Ungleichung mit Sicherheit größer ist als die Linke.
Na [mm] $\bruch{n}{n+1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] 2$
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 24.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
heute ist wohl nicht mein Tag.
Aber natürlich sollte es das heißen! 
Hatte ja vorher schon geschrieben, dass [mm] \le [/mm] 1 raus kommt.....
Gruß & Dank,
Gono.
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