Beschränkte Variation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Do 07.04.2005 | | Autor: | volta |
Tach auch,
ich hab hier mal ne Aufgabe zum Thema beschränkte Variation und die (hoffentlich vollständige) Lösung dazu und wollte mal eure Meinung dazu einholen.
a) Geben Sie eine stetige Funktion f(x) im Intervall [0,1] an mit f(0)=0, [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{(-1)^{n}}{n^{s}}, [/mm] s eine positive Konstante.
b) Zeigen Sie, daß f für [mm] 0
Und hier ist meine Lösung:
a) Die Fkt. ist [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ x^{s}*cos(\bruch{\pi}{x}), & \mbox{für } 0
b) Hier benutze ich die Lipschitz-Stetigkeit und den MWSD.
f ist stetig auf [0,1] (das müsste ich noch beweisen für x=0), diffbar in (0,1) mit f'(x) = [mm] sx^{s-1} [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi}{x}) [/mm] + [mm] \pi*x^{s-2} [/mm] * [mm] sin(\bruch{\pi}{x}).
[/mm]
Für [mm] 0
Für s>1 gibt es einen eigentlichen Grenzwert (auch hier würde mir eine Begründung gefallen) [mm] \rightarrow [/mm] f(x) ist Lipschitz-stetig [mm] \rightarrow [/mm] f(x) ist von beschränkter Variation.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo volta!
Leider wimmelt der Beweis von Fehlern und falschen Folgerungen.
Hier nur die wichtigsten:
Man kann aus der Nicht-Beschränktheit der Ableitung nicht die Nicht-Lipschitz-Stetigkeit folgern. Weiterhin kann man aus der Nicht-Lipschitz-Stetigkeit nicht die fehlende endliche Variation ableiten.
In diesem Aufgabenteil musst du ganz streng mit der Definition arbeiten und direkt zeigen, dass die Variation unendlich ist. Die Unterteilungspunkte, die man wählen muss, werden einem ja durch den ersten Aufgabenteil a) fast schon auf dem Tablett serviert. 
Im letzten Teil ist es richtig, dass die Funktion Lipschitz-stetig ist. Allerdings ist die Ableitung nicht beschränkt, d.h. man muss dies direkt zeigen.
Versuche es bitte noch einmal komplett neu (nur der allererste Aufgabenteil a) war richtig, den kannst du so lassen).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 10.04.2005 | | Autor: | volta |
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> Leider wimmelt der Beweis von Fehlern und falschen
> Folgerungen.
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> Hier nur die wichtigsten:
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> Man kann aus der Nicht-Beschränktheit der Ableitung nicht
> die Nicht-Lipschitz-Stetigkeit folgern. Weiterhin kann man
> aus der Nicht-Lipschitz-Stetigkeit nicht die fehlende
> endliche Variation ableiten.
>
Ok, das sehe ich ein (es kommt in der Vorlesung nicht so der Unterschied zwischen Implikation und Äquivalenz der Aussagen heraus).
Allerdings hab ich in einen anderen [url=http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf] Script (Seite 270ff.) [mm] [\url] [/mm] das gleiche Beispiel gefunden für s=1.
Danke für den Fingerzeig :)
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