Beschränkte Teilmengen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Fr 26.11.2010 | | Autor: | wonda |
| Aufgabe | Es seien A und B nicht leere, nach oben und unten beschränkte Teilmengen von [mm] \IR.
[/mm]
Zeige, dass die Menge:
C := [mm] \{ x : x = y + z mit y \in A und z \in B \} [/mm]
nach oben und unten beschränkt ist und dass gilt:
supC = supA + supB sowie inf C = inf A + inf B: |
nun stell ich mir Folgende Frage wie zeige ich das ganze
für mich ist das ganz schon einleuchtend
da die Komposition von nicht leeren, beschränkten Mengen wieder nicht leer und beschränkt sein müssen
das zeigen ist aber für mich das schwere
ich würde das ganze wiefolge zeigen bin mir dabei aber nicht sicher ob es zu 100% stimmt
sagen wir einfach
A ist nicht leer, nach oben und unten beschränkt
nach der Definition der Beschränktheit gilt:
Also Sei Sup A=: M dann
[mm] \exists [/mm] M [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A : y [mm] \le [/mm] M
das gleiche gilt dann für B
wobei Sup B=:K nun
[mm] \exists [/mm] K [mm] \in [/mm] B [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] B : z [mm] \le [/mm] K
Sei nun x [mm] \in [/mm] C dann x= y + z [mm] \le \underbrace{K+M}_{=:L} [/mm] also x [mm] \le [/mm] L
damit ist Sup C= L =Sup A + Sup B
analog dann für Inf C
(habe einfach _{2} an die Schranken gemacht damit die zeichen gleich bleiben für das verständnis mir ist klar das [mm] M\not= M_{2}
[/mm]
aber für |x| [mm] \ge [/mm] M ist [mm] M=M_{2})
[/mm]
Also Sei Inf A=: [mm] M_{2} [/mm] dann
[mm] \exists [/mm] M [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A : y [mm] \ge M_{2}
[/mm]
analog für B:
Sei Inf [mm] B=:K_{2} [/mm]
[mm] \exists [/mm] K [mm] \in [/mm] B [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] B : z [mm] \ge K_{2}
[/mm]
also
x= y+z [mm] \ge \underbrace{K_{2}+M_{2}}_{=:L_{2}} [/mm] also x [mm] \le L_{2} [/mm]
das nichts anderes als Inf C= Inf A + Inf B ist
damit wäre C beschränkt
C ist natürlich auch nicht leer da C aus den Mengen A und B besteht die nicht leer sind
wäre sehr dankbar für verbesserungen oder falls mein Beiweis total falsch ist für Beweisansätze wie man es hätte machen sollen
Mfg wonda
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Hiho,
> Also Sei Sup A=: M dann
> [mm]\exists[/mm] M [mm]\in[/mm] A [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] A : y [mm]\le[/mm] M
>
> das gleiche gilt dann für B
> wobei Sup B=:K nun
> [mm]\exists[/mm] K [mm]\in[/mm] B [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] B : z [mm]\le[/mm] K
>
>
> Sei nun x [mm]\in[/mm] C dann x= y + z [mm]\le \underbrace{K+M}_{=:L}[/mm]
> also x [mm]\le[/mm] L
ja, bis hierhin prima.
> damit ist Sup C= L =Sup A + Sup B
Nunja, DAS hast du noch nicht gezeigt. Du hast zwar gezeigt, dass L eine obere Schranke ist, du hast aber noch nicht gezeigt, dass es auch die kleinste obere Schranke ist.
Dafür fehlt noch die zweite Supremumseigenschaft.
Das ist aber auch nicht schwer.
> Also Sei Inf A=: [mm]M_{2}[/mm] dann
> [mm]\exists[/mm] M [mm]\in[/mm] A [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] A : y [mm]\ge M_{2}[/mm]
>
> analog für B:
> Sei Inf [mm]B=:K_{2}[/mm]
> [mm]\exists[/mm] K [mm]\in[/mm] B [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] B : z [mm]\ge K_{2}[/mm]
>
>
> also
> x= y+z [mm]\ge \underbrace{K_{2}+M_{2}}_{=:L_{2}}[/mm] also x [mm]\le L_{2}[/mm]
Hier sollte es am Ende wohl eher $x [mm] \ge L_2$ [/mm] heissen.
Deine Idee ist gut, aber bei beiden fehlt noch die wichtige Supremums- bzw Infimumseigenschaft.
Denn obere und untere Schranken gibts ja viele 
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 26.11.2010 | | Autor: | wonda |
ohje wenn man sich mal arbeit ersparen will vergisst man das Zeichen umzudrehen ja natürlich meinte ich [mm] \ge [/mm] danke
hmm versteh nicht ganz wieso ich das noch zeigen muss
ich habe mir doch L genauso definiert dass
L=K+ M= Sup A +Sup B
andersherum ist doch aber C so definiert dass
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] C : x= y+z ,wobei [mm] y\in [/mm] A und z [mm] \in [/mm] B
wenn man jetzte also L= Sup A +Sup B muss L doch das Supremum von C sein
da es aber kein y [mm] \in [/mm] A für das gilt: [mm] y\le [/mm] K(also Sup A)
analog für B
muss L doch Sup C sein
wenn das nicht ausreicht könntest du mir sagen was ich noch zeigen muss?
Danke schonmal
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Hiho,
> hmm versteh nicht ganz wieso ich das noch zeigen muss
Weil das gerade die Aufgabe ist
> ich habe mir doch L genauso definiert dass
> L=K+ M= Sup A +Sup B
Jo, damit ist L erstmal irgendeine relle Zahl.
> andersherum ist doch aber C so definiert dass
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] C : x= y+z ,wobei [mm]y\in[/mm] A und z [mm]\in[/mm] B
> wenn man jetzte also L= Sup A +Sup B muss L doch das
> Supremum von C sein
Das ist doch genau die Aussage der Aufgabe. Ich behaupte nun, dass es eben nicht so ist. Wer von uns beiden hat recht?
> da es aber kein y [mm]\in[/mm] A für das gilt: [mm]y\le[/mm] K(also Sup A)
> analog für B
> muss L doch Sup C sein
Wenn dir das so klar ist, sollte es ja auch kein Problem sein zu zeigen.
Die Sache ist eigentlich ganz einfach.
Es wird in den Raum geworfen: "Addiere" ich zwei Mengen, so ist das Supremum der Summe gerade die Summe der Suprema..... das ist aber ohne Beweis so gar nicht direkt klar.
Du wirst vllt. feststellen, dass sich gerade im späteren Verlauf eines Studiums desöfteren Aussagen ergeben, die "eigentlich doch klar" aber gar nicht so trivial sind, wie sie scheinen
MFG
Gono.
PS: Achja, was sollst du zeigen: Für alle Epsilon.... und so weiter. Kennst du bestimmt die Definition 
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