Beschränkte Lebesgue-Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei [mm] $\Omega \subseteq \IR^n$ [/mm] offen und [mm] $\lambda^n(\Omega) [/mm] < [mm] \infty, [/mm] so ist [mm] $\Omega$ [/mm] beschränkt
b) Ist [mm] $\Omega \subseteq\IR^n$ [/mm] beschränkt und lebesgue-messbar, so ist [mm] $\lambda^n(\Omega) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] |
Hallo,
wie komme ich denn zur Lösung dieser Aussagen? Auf welche Eigenschaften des Lebesgue-Maßes muss ich da zurückgreifen?
Ich kann das ganze nur sehr intuitiv und absolut unmathematisch gehen und da erscheint mir die Beschränktheit sehr eng verwandt mit Lebesgue-Messbarkeit zu sein.
Bedanke mich schonmal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Sei [mm]$\Omega \subseteq \IR^n$[/mm] offen und
> [mm]$\lambda^n(\Omega)[/mm] < [mm]\infty,[/mm] so ist [mm]$\Omega$[/mm] beschränkt
> b) Ist [mm]\Omega \subseteq\IR^n[/mm] beschränkt und
> lebesgue-messbar, so ist [mm]\lambda^n(\Omega) < \infty[/mm]
>
> Hallo,
>
> wie komme ich denn zur Lösung dieser Aussagen? Auf welche
> Eigenschaften des Lebesgue-Maßes muss ich da
> zurückgreifen?
> Ich kann das ganze nur sehr intuitiv und absolut
> unmathematisch gehen
Dann lass uns an Deinen Gedanken teilhaben. Vielleicht können wir dann einen sauberen Bewis daraus machen.
Zu a) Widerspruchsbeweis.
Zu b) es gibt einen kompakten Würfel W mit [mm] \Omega \subset [/mm] W
FRED
> und da erscheint mir die
> Beschränktheit sehr eng verwandt mit Lebesgue-Messbarkeit
> zu sein.
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> Bedanke mich schonmal im Voraus
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Zu a) Genau genommen waren das schon meine Gedanken, weil ich nicht weiß, in welche Richtung ich suchen soll. Es ist eigentlich wie bei jedem mathematischen Problem dieser Sorte. Ich kann die Lösung immer recht gut nachvollziehen, würde aber niemals selbst auf sowas kommen.
Es ist wie bei diesen Rätseln, wo man entweder mit dem ersten Blick die Lösung sieht oder eben nie ;)
Was wäre denn z.B. mit [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IN$ [/mm] wobei man jeder natürlichen Zahl das Maß 0 zuordnet? Dann ist [mm] $\Omega$ [/mm] offen und unbeschränkt, das Lebesgue-Maß aber endlich?!
Zu b) Ich schätze also [mm] $\Omega$ [/mm] mit einer messbaren Menge nach oben ab und argumentiere, dass [mm] $\Omega$ [/mm] aufgrund der Teilmengenbeziehung auch messbar ist?
Ich muss also nur noch zeigen, dass [mm] $\Omega$ [/mm] mit den geforderten Bedigungen in W liegt?
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Hiho,
> Was wäre denn z.B. mit [mm]\Omega = \IN[/mm] wobei man jeder
> natürlichen Zahl das Maß 0 zuordnet? Dann ist [mm]\Omega[/mm]
> offen und unbeschränkt, das Lebesgue-Maß aber endlich?!
Erstens: Wie willst du denn jeder natürlichen Zahl ein Maß "zuordnen"?
Das Maß ist doch vorgegeben, nämlich das Lebesgue-Maß im [mm] \IR^n [/mm] und für dieses gilt für jeden Punkt x, dass [mm] $\lambda^n(\{x\}) [/mm] = 0$.
Allerdings erfüllt [mm]\Omega = \IN[/mm] die vorgaben nicht, [mm] \Omega [/mm] soll nämlich offen sein (im [mm] \IR^n [/mm] !), gilt das für [mm] \IN [/mm] ?
> Zu b) Ich schätze also [mm]\Omega[/mm] mit einer messbaren Menge
> nach oben ab und argumentiere, dass [mm]\Omega[/mm] aufgrund der
> Teilmengenbeziehung auch messbar ist?
Nein? Warum willst du das folgern, dass [mm] \Omega [/mm] meßbar sein soll, ist doch vorgegeben.
> Ich muss also nur noch zeigen, dass [mm]\Omega[/mm] mit den
> geforderten Bedigungen in W liegt?
Dass es einen Quader gibt, in dem [mm] \Omega [/mm] drin liegt, das musst du zeigen, ja (ist aber klar, wenn [mm] \Omega [/mm] beschränkt ist, warum?).
Und welches Lebesgue-Maß hat ein Quader im [mm] \IR^n [/mm] ?
MFG,
Gono.
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> gilt das für [mm]\IN[/mm] ?
Offene Mengen sind Mengen, deren Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind. Demnach habe ich gedacht, dass das so wäre, wenn ich mir die mathematische Definition anschaue, scheinen offene Mengen allerdings nur auf überabzählbaren Mengen zu existieren.
Was wäre denn, wenn ich ganz [mm] $\IR$ [/mm] nehme und nun fortlaufend immer das abgeschlossene mittlere Drittel herausteile. Dann erhalte ich zwei offene Menge aus denen ich jeweils wieder das abgeschlossene mittlere Drittel herausteile usw.
> Nein? Warum willst du das folgern, dass [mm]\Omega[/mm] meßbar sein
> soll, ist doch vorgegeben.
>
Es muss so heißen:
> > Zu b) Ich schätze also [mm]\Omega[/mm] mit einer beschränkten, messbaren Menge
> > nach oben ab und argumentiere, dass [mm]\Omega[/mm] aufgrund der
> > Teilmengenbeziehung auch endliches Maß hat, (da dies für beschränkte, messbare Mengen gilt)?
> Dass es einen Quader gibt, in dem [mm]\Omega[/mm] drin liegt, das
> musst du zeigen, ja (ist aber klar, wenn [mm]\Omega[/mm] beschränkt
> ist, warum?).
Ich bin auch wieder unfähig, das mathematisch sauber zu formulieren, aber wenn [mm] $\Omega$ [/mm] beschränkt ist, dann gibt es einen Rand, der die Grenze zu Elementen bildet, die nicht in [mm] $\Omega$ [/mm] liegen und diesen könnte ich, um W zu erhalten, einfach um solche Elemente erweitern, die nicht in [mm] $\Omega$ [/mm] liegen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > gilt das für [mm]\IN[/mm] ?
>
> Offene Mengen sind Mengen, deren Elemente nur von Elementen
> dieser Menge umgeben sind.
Ei da daus, was soll denn das bedeuten ??
> Demnach habe ich gedacht, dass
> das so wäre, wenn ich mir die mathematische Definition
> anschaue, scheinen offene Mengen allerdings nur auf
> überabzählbaren Mengen zu existieren.
Das ist völliger Blödsinn !
>
> Was wäre denn, wenn ich ganz [mm]\IR[/mm] nehme und nun fortlaufend
> immer das abgeschlossene mittlere Drittel herausteile. Dann
> erhalte ich zwei offene Menge aus denen ich jeweils wieder
> das abgeschlossene mittlere Drittel herausteile usw.
>
> > Nein? Warum willst du das folgern, dass [mm]\Omega[/mm] meßbar sein
> > soll, ist doch vorgegeben.
> >
>
> Es muss so heißen:
>
> > > Zu b) Ich schätze also [mm]\Omega[/mm] mit einer beschränkten,
> messbaren Menge
> > > nach oben ab und argumentiere, dass [mm]\Omega[/mm] aufgrund der
> > > Teilmengenbeziehung auch endliches Maß hat, (da dies für
> beschränkte, messbare Mengen gilt)?
>
> > Dass es einen Quader gibt, in dem [mm]\Omega[/mm] drin liegt, das
> > musst du zeigen, ja (ist aber klar, wenn [mm]\Omega[/mm] beschränkt
> > ist, warum?).
>
> Ich bin auch wieder unfähig, das mathematisch sauber zu
> formulieren, aber wenn [mm]\Omega[/mm] beschränkt ist, dann gibt es
> einen Rand, der die Grenze zu Elementen bildet, die nicht
> in [mm]\Omega[/mm] liegen und diesen könnte ich, um W zu erhalten,
> einfach um solche Elemente erweitern, die nicht in [mm]\Omega[/mm]
> liegen
Mein Gott !!!
Ich rate Dir: bevor Du mit der Aufgabe weitermachst, mache Dich vertraut mit den Begriiffen
"offen", abgeschlossen" , "beschränkt" , ...
FRED
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> > Offene Mengen sind Mengen, deren Elemente nur von Elementen
> > dieser Menge umgeben sind.
>
> Ei da daus, was soll denn das bedeuten ??
>
> > Demnach habe ich gedacht, dass
> > das so wäre, wenn ich mir die mathematische Definition
> > anschaue, scheinen offene Mengen allerdings nur auf
> > überabzählbaren Mengen zu existieren.
>
> Das ist völliger Blödsinn !
Also mit letzterem Blödsinn meinte ich eher, dass keine abzählbaren offenen Mengen auf [mm] \IR [/mm] existieren. Ich war eben verwirrt davon, dass [mm] \IN [/mm] nicht offen sein soll, denn offensichtlich ist jede natürliche Zahl von weiteren natürlichen Zahlen umgeben. Laut der mathematischen Definition muss man aber eine beliebig kleine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] wählen können, sodass deren Elemente alle in der gesuchten offenen Mengen liegen. Und wenn man einen überabzählbaren Raum zu Grunde legt, ist das für abzählbare Mengen nicht möglich oder doch? So bin ich jedenfalls auf den Blödsinn gekommen...
> Ich rate Dir: bevor Du mit der Aufgabe weitermachst, mache
> Dich vertraut mit den Begriffen
>
> "offen", abgeschlossen" , "beschränkt" , ...
Ja, leichter gesagt als getan. Offensichtlich kenne ich die Definitionen auswendig, aber damit ist es ja nicht getan. Für jedes neue Beispiel eines solchen Begriffes brauche ich Minuten bis ich es verstanden habe, würde umgekehrt aber nie darauf kommen. Deshalb stellt mich auch jede neue Aufgabe mit auch nur dem Hauch von Transferleistung vor ein großes Rätsel.
Ich bin im Rahmen meines Infostudiums auf die wahnwitzige Idee gekommen Stochastik als Anwendungsfach zu wählen und werde jetzt in allen höheren Mathematikvorlesungen in einen Topf mit Leuten geworfen, die schon ein halbes Mathestudium hinter sich haben. Ich würde es ganz bestimmt nicht nochmal tun.
Dann fang ich mal ganz vorne an: [mm] $\Omega$ [/mm] ist in [mm] \IR^n [/mm] offen, was weiß ich jetzt über diese Menge? Das erste was mir da einfällt ist ein offenes Intervall (bzw. verallgemeinert auf n Dimensionen das entsprechende Rechteck). Gibt es sonst noch Typen von offenen Mengen in diesem Raum außer Vereinigungen und Schnitten von offenen Intervallen?
Selbiges für ein endliches Lebesgue-Maß. Der Flächeninhalt meiner Menge ist endlich. Was weiß ich jetzt über meine Menge außer dass sie an keiner Stelle ins Unendliche "ragt"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 12.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe mir nochmal Gedanken gemacht. Was ist für Teil a) mit der Funktion $f(x) = [mm] 1/x^2$ [/mm] auf (0, [mm] \infty) [/mm] ? Diese Funktion hat auf einer offenen aber unbeschränkten Menge ein endliches Lebesgue-Maß.
Ich denke, den Beweis zu b) habe ich nun auch verstanden. Da kompakte Mengen endliches Lebesgue-Maß haben, schätzt man [mm] $\Omega$ [/mm] durch eine solche nach oben ab und begründet damit die Endlichkeit.
Jetzt muss ich eben nur noch diesen Würfel definieren und meine zugegebenermaßen wirr formulierte Idee dazu war es, einfach den Abschluss der offenen Menge hinzuzufügen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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