Beschränkte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 31.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass in [mm] (\IR^{2},d_{FR}) [/mm] (wobei [mm] d_{FR} [/mm] die French-Railroad-Metrik) nicht jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat. |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr ganz weiter.
Eigentlich braucht man ja nur eine Folge in [mm] (\IR^{2},d_{FR}) [/mm] finden, die beschränkt ist und keine konvergente Teilfolge hat.
Zunächst habe ich die French-Railroad-Metrik
[mm] d(x,y)=\begin{cases} d_{EU}(x,y), & \mbox{für } x,y \mbox{ linear abhängig} \\ d_{EU}(x,0)+d_{EU}(y,0), & \mbox{für } x,y \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] mit
[mm] d_{EU}(x,y)=\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
Den Beweis habe ich jetzt so angefangen:
Sei [mm] \{x_{n}\} [/mm] eine beschränkte Folge in [mm] (\IR^{2},d_{FR}) [/mm] (man kann auch annehmen, dass es eine Cauchy-Folge ist, vielleicht nützt dies ja).
Da [mm] \{x_{n}\} [/mm] beschränkt ist, existiert ein M derart,dass
[mm] \{x_{n}\} \le [/mm] M. Sei dann [mm] \{x_{n}_{k}\} [/mm] eine Teilfolge.
Jetzt habe ich mir folgende Folge angeschaut:
[mm] (\vektor{0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0},...,\vektor{1 \\ 1},\vektor{0 \\ 0},...). [/mm] Die ist beschränkt durch [mm] (\vektor{0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0},...,\vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1}) [/mm] und hat keine konvergente Teilfolge.
Außerdem gilt [mm] d(\vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1})=\wurzel{2}, d(\vektor{0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0})=0=\vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Das Problem ist einfach, dass ich nicht so richtig weiß, was ich hier mit der Metrik machen soll. Wie geht man hier vor?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 31.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du dir FRM falsch hingeschrieben, abhaengig und unabh. vertauscht.
2. Beschraenkt ist durch ne Zahl:|x| nicht durch nen sammlung von Punkten.
3. deine folge hat doch ne beschr teilfolge aus lauter [mm] \vektor{0\\0}?
[/mm]
Du musst schon mit den 2 verschiedenen d arbeiten.vielleicht mit ner beschr. folge lin unabh [mm] x_n [/mm] die gegen einen lin abh. konvergiert das ist nur ne vage Idee.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 07.06.2011 | | Autor: | WWatson |
Moin, Mandy,
Wieso betrachtest Du als Schranke denn eine weitere Folge? Du musst doch eigentlich nur ein 2-Tupel betrachten.
Nimm Dir doch vielleicht als Beispiel mal die Folge ( [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] , 1). Die Folge ist durch (e,1) beschränkt. Die Folgenglieder liegen nicht auf einer gemeinsamen Urprungsgeraden, also betrachtest Du die Metrik im linear unabhängigen Fall. Zeichne Dir die Folge doch mal schematisch in den [mm] \IR^{2} [/mm] ein und zeichne Dir dann vor allem mal ein, wie dann die Abstände aussehen. Was stellst Du fest?
Gruß,
WWatson
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