Berührpunkte von Tangenten < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:28 So 13.02.2005 | | Autor: | mjk |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
f(x) = 1/x
Sie hat 2 Tangenten, welche durch P (6/7;4/7) gehen. Berechne ihre Berührpunkte. Welche Bedingung müssen a,b erfüllen, damit durch Q (a;b) zwei Tangenten gehen?
Danke für alle Tipps
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 So 13.02.2005 | | Autor: | Youri |
Hallo MJK!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hast Du Dir schon unsere Forenregeln durchgelesen?
Es wäre schön, wenn Du uns Deine Überlegungen zu den Aufgaben mitteilst.
Dann wissen wir auch eher, wo es hakt... 
> f(x) = 1/x
> Sie hat 2 Tangenten, welche durch P (6/7;4/7) gehen.
> Berechne ihre Berührpunkte. Welche Bedingung müssen a,b
> erfüllen, damit durch Q (a;b) zwei Tangenten gehen?
> Danke für alle Tipps
Dann mal ein paar Tips...
1. Tangenten sind nichts anderes als lineare Funktionen der Form [mm]g(x)=m*x+b[/mm].
Die Funktionsgleichung einer Geraden kannst Du bestimmen, wenn Du zwei Punkte kennst. Wenn Du nicht mehr weißt, wie das geht, findest Du unter dem Stichwort  Steigung Hinweise, wie man [mm]m[/mm] berechnet. Den Achsenabschnitt kannst Du danach auch berechnen, indem Du einen der beiden bekannten Punkte einsetzt.
=> Du kannst also die Funktionsvorschrift der Tangenten bestimmen.
2. Was muss gelten, wenn die Tangente und die Funktion sich berühren?
Die Funktionswerte sind gleich => gleichsetzen...!
3. Etwas anders formuliert zur letzten Frage: Welche Bedingungen müssen vorherrschen, damit es eine Tangente mit zwei Berührpunkten gibt?
Dazu müsstest Du Dir jetzt mal etwas überlegen...
Was weißt Du über die Steigung in den beiden Berührpunkten?
Welche Zusammenhänge müssen noch erfüllt sein?
Beschreibe doch mal Deine Ideen!
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 13.02.2005 | | Autor: | mjk |
Vielen Dank für deine Tipps. Das Problem ist, ich kenne nur einen Punkt, wo sich die beiden Tangenten treffen (sechs Siebtel, vier Siebtel). Eine Gleichung habe ich berechnet, aber die zweite nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 13.02.2005 | | Autor: | Fugre |
> Vielen Dank für deine Tipps. Das Problem ist, ich kenne nur
> einen Punkt, wo sich die beiden Tangenten treffen (sechs
> Siebtel, vier Siebtel). Eine Gleichung habe ich berechnet,
> aber die zweite nicht.
>
Hallo mjk,
du bringst hier 2 Dinge durcheinander. Du gehst von den Schnittpunkten der Tangenten
aus, davon gibt es nur einen und der liegt bei [mm] $P(\bruch{6}{7}/\bruch{4}{7}$.
[/mm]
Was du aber suchst sind die Berührpunkte der Tangenten mit dem Graph der Funktion.
Von den Tangenten weißt du, dass der Punkt P auf ihnen liegt.
Also kannst du für deine beiden Tangenten schreiben:
(1) [mm] $t_{1,2}(\bruch{6}{7})=m*\bruch{6}{7}+b=\bruch{4}{7}$ [/mm]
Außerdem weißt du, dass diese Tangenten den Graph der Funktion berühren, sagen wir, dass
sie in den Punken [mm] $B_{1,2}(b_{1,2}/f(b_{1,2})$ [/mm] berühren.
An diesen Punkten B müssen nun 2 Dinge gelten:
(1) [mm] $t_{1,2}(b_{1,2})=f(b_{1,2})$
[/mm]
(2) [mm] $t'_{1,2}(b_{1,2})=f'(b_{1,2})$
[/mm]
Mit diesen Informationen solltest du jetzt erstmal etwas weiterkommen.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 13.02.2005 | | Autor: | mjk |
Jetzt ist schon alles klar. Vielen Dank! Das war sehr behilflich.
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Hallo mjk,
> Vielen Dank für deine Tipps. Das Problem ist, ich kenne nur
> einen Punkt, wo sich die beiden Tangenten treffen (sechs
> Siebtel, vier Siebtel). Eine Gleichung habe ich berechnet,
> aber die zweite nicht.
>
eine anderen Ansatz findest du durch folgende Überlegung:
Die Tangente geht durch P und hat dieselbe Steigung wie die Funktion an der Stelle [mm] x_B, [/mm] also im Berührpunkt.
Zusammen mit der Bedingung, die Youri dir schon genannt hat, solltest du jetzt genug Anhaltspunkte haben, um Gleichungen aufstellen zu können.
Zeig sie uns - und wir schauen mal drüber, ob alles stimmt.
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