Forum "Differenzialrechnung" - Berührpunkt bestimmung - Vorkurse

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Forum "Differenzialrechnung" - Berührpunkt bestimmung

Berührpunkt bestimmung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Berührpunkt bestimmung: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:04 Mo 18.04.2005
Autor:	ChristinaB

Hey Leute,

Hab da mal wieder ein kleines Problem mit einer teilaufgabe...

Also, gegeben ist die Funktion g(x)=1- [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm]

Aufgabe: Vom Punkt P(0;a) werden Tangenten an den Graphen von g gezeichnet. Bestimmen sie die Abszissen [mm] x_0 [/mm] der Berührpunkte [mm] B(x_0;g(x_0)) [/mm] in Abhängigkeit von a. Für welche werte von a existieren solche Tangenten?

Also mein Ansatz:

Habe erst mal die Tangentengleichung aufgestellt:

y=mx+b

[mm] g'(x_0)= [/mm] m [mm] =\bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2} [/mm]

und b muss gleich a sein richtig?
nun gilt für die Tangente in [mm] x_0 [/mm] doch [mm] y_0 =\bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2} *x_0 [/mm] + a oder ?

Darauf hin hab ich mir gedacht ich setze die Tangente mit [mm] g(x_0) [/mm] gleich und löse nach [mm] x_0 [/mm] auf, aber irgendwie kommt da bei mir nichts gescheites bei raus, lässt sich (von mir) einfach nicht auflösen!

[mm] \bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2} [/mm] * [mm] x_0 [/mm] + a= 1- [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm]

Bitte dringend um hilfe!!

Danke

Bezug

Berührpunkt bestimmung: Hinweis

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:53 Mo 18.04.2005
Autor:	MathePower

Hallo,

> [mm]g'(x_0)=[/mm] m [mm]=\bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2}[/mm]
>
> und b muss gleich a sein richtig?
> nun gilt für die Tangente in [mm]x_0[/mm] doch [mm]y_0 =\bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2} *x_0[/mm]
> + a oder ?
>
> Darauf hin hab ich mir gedacht ich setze die Tangente mit
> [mm]g(x_0)[/mm] gleich und löse nach [mm]x_0[/mm] auf, aber irgendwie kommt
> da bei mir nichts gescheites bei raus, lässt sich (von mir)
> einfach nicht auflösen!
>
> [mm]bruch{4x_0}{(1+(x_0)^2)^2}[/mm] * [mm]x_0[/mm] + a= 1- [mm]\bruch{2}{1+x^2}[/mm]
>

die Gleichung sollte doch so aussehen:

[mm]\frac{{4x_{0}^{2} }} {{\left( {1\; + \;x_{0}^{2} } \right)^{2} }}\; + \;a\; = \;1\; - \;\frac{2} {{1\; + \;x_{0}^{2} }}[/mm]

Um eine Aussage über das a zu erhalten, solltest Du die Gleichung nach [mm]x_{0}[/mm] auflösen. Multipliziere hierzu die Gleichung mit dem Hauptnenner [mm]{\left( {1\; + \;x_{0}^{2} } \right)^2 }[/mm] durch und bringe alles auf eine Seite. Dann ergibt sich eine Gleichung 4. Grades, bei der das kubische und lineare Glied fehlen. Diese Gleichung läßt sich mit Hilfe der Mitternachsformel lösen.

Gruß
MathePower

Bezug

Berührpunkt bestimmung: rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:50 Mo 18.04.2005
Autor:	ChristinaB

Hey danke soweit,

habe jetzt die gleichug [mm] (a-1)*(x_0)^4 [/mm] + (4+2a) * [mm] (x_0)^2 [/mm] +a +1 = 0 jetzt meine frage, was ist die mitternachtsformel? p-q Formel? aber da kommt bei mir ein komplizierter term mit Doppelwurzel raus???

Bezug

Berührpunkt bestimmung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:27 Mo 18.04.2005
Autor:	Bastiane

Hallo ChristinaB!

> habe jetzt die gleichug [mm](a-1)*(x_0)^4[/mm] + (4+2a) * [mm](x_0)^2[/mm] +a
> +1 = 0 jetzt meine frage, was ist die mitternachtsformel?
> p-q Formel? aber da kommt bei mir ein komplizierter term
> mit Doppelwurzel raus???

Also, wenn ich mich nicht irre, dann ist die Mitternachtsformel nicht genau die pq-Formel, sondern eine Verallgemeinerung davon, nämlich die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen (ich glaub, man nennt sie auch abc-Formel). Der Unterschied ist einfach, dass man die pq-Formel nur anwenden kann, wenn der Faktor vor dem [mm] x^2 [/mm] gleich 1 ist, ansonsten benötigt man die allgemeine Formel. (hab's gerade doch noch gefunden:

ABCFormel

Zeig doch mal deinen Rechenweg - vielleicht hast du dich ja nur irgendwo verrechnet!? ;-)

Viele Grüße
Bastiane

Bezug

Berührpunkt bestimmung: fast fertig

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:35 Mo 18.04.2005
Autor:	leduart

Hallo
>
> habe jetzt die gleichug [mm](a-1)*(x_0)^4[/mm] + (4+2a) * [mm](x_0)^2[/mm] +a
> +1 = 0 jetzt meine frage, was ist die mitternachtsformel?
> p-q Formel? aber da kommt bei mir ein komplizierter term
> mit Doppelwurzel raus???

lös erst mal nur für [mm] x_{0}^{2} [/mm] auf. dann hast du erst eine Wurzel: Damit es die Lösung gibt muss die Diskriminante (das Zeug unter der Wurzel positiv sein! das gibt dir schon mal Einschränkungen für a. als nächstes muß auch das Teil vor der Wurzel Positiv sein, denn [mm] x_{0}^{2} [/mm] muss ja pos. sein. Dann hast du alle Einschränkungen für a. Du kannst auch mit dem 2. Teil anfangen. Denk dran ein Bruch ist negativ, wenn Zähler >0; Nenner<0 oder umgekehrt!
Ich hoffe das hilft!
Gruss leduart

Bezug

Berührpunkt bestimmung: rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:49 Di 19.04.2005
Autor:	ChristinaB

hey,also dass ist meine Rechnung:

[mm] 4x_0^2+a*(1+x_0^2)^2-x_0^4+1=0 [/mm]

ist umgeformt:

[mm] x_0^4 +\bruch{4+2a}{a-1} [/mm] * [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] \bruch{a+1}{a-1} [/mm] =0

mit p-q ergibt sich für [mm] x_0^2 [/mm] : aus bequemlichkeit [mm] x_0 [/mm] = x

[mm] x^2= [/mm] - [mm] \bruch{4+2a}{2a-2} \pm \wurzel{\bruch{(4+2a)^2}{(2a-2)^2}- \bruch{a+1}{a-1}} [/mm]

ist umgeformt:

[mm] x^2= [/mm] - [mm] \bruch{4+2a}{2a-2} \pm \wurzel{20+16a}* \bruch{1}{2a-2} [/mm]

und das ist mein problem, ich kann jetzt zwar sehen füe welche a das gilt, aber ich kann immer noch nicht wirklich nach x auflösen, ich soll doch auch x bestimmen! Hilfe!!

Bezug

Berührpunkt bestimmung: Lösungsmenge für a

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:29 Di 19.04.2005
Autor:	Loddar

Hallo Christina!

> [mm]x^2=[/mm] - [mm]\bruch{4+2a}{2a-2} \pm \wurzel{20+16a}* \bruch{1}{2a-2}[/mm]

Bis hierher klasse gerechnet ...

Ich forme das noch etwas weiter um bzw. vereinfache etwas:

[mm]x_0^2 \ = \ - \bruch{4+2a}{2a-2} \pm \wurzel{20+16a}* \bruch{1}{2a-2}[/mm]

[mm]x_0^2 \ = \ \bruch{-(4+2a) \pm \wurzel{20+16a}}{2a-2}[/mm]

[mm]x_0^2 \ = \ \bruch{-2*(2+a) \pm \wurzel{4*(5+4a)}}{2*(a-1)}[/mm]

[mm]x_0^2 \ = \ \bruch{-2*(2+a) \pm 2*\wurzel{5+4a}}{2*(a-1)}[/mm]

[mm]x_0^2 \ = \ \bruch{-(2+a) \pm \wurzel{5+4a}}{a-1} \ = \ \bruch{2+a}{1-a} \pm \bruch{\wurzel{5+4a}}{a-1}[/mm]

Den Wert für [mm] $x_0$ [/mm] erhalten wir nun, indem wir von diesem "dollen Ausdruck" ;-)

nochmals die Wurzel ziehen.

[mm]x_0 \ = \ \pm \ \wurzel{\bruch{-(2+a) \pm \wurzel{5+4a}}{a-1} \ }[/mm]

Spätestens hier sollten wir uns nun über die Defintionsbereiche von $a$ Gedanken machen.

Zunächst einmal darf der Wert unterhalb der "kleinen" Wurzel nicht negativ werden:

$5+4a \ [mm] \ge [/mm] \ 0$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $a \ [mm] \ge [/mm] \ - [mm] \bruch{5}{4}$ [/mm]

Das muß auf jeden Fall erfüllt sein!

Damit auch die "große" Wurzel in [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist, mußt Du noch untersuchen, wann gilt:

[mm] $\bruch{-(2+a)}{a-1} [/mm] \ [mm] \ge \bruch{\wurzel{5+4a}}{a-1}$ [/mm]

1. Fall $(a-1) \ > \ 0$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $a \ > \ 1 \ > \ - [mm] \bruch{5}{4}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]   $-(2+a) \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \wurzel{5+4a}$ [/mm]

[mm] $\red{\Rightarrow}$ $(2+a)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 5+4a$

[mm] $\gdw$ $4+2a+a^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 5+4a$

[mm] $\gdw$ $a^2-2a-1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$

[mm] $\gdw$ [/mm]   $a \ [mm] \le [/mm] \ 1 - [mm] \wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0,41 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 1$!!   [mm] $\vee$ [/mm]   $a \ [mm] \ge [/mm] \ 1 + [mm] \wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2,41$

Nun die Probe machen, da wir zu Beginn dieser Umformungen mit dem Quadrieren der Ungleichung keine Äquivalenzumformung vorgenommen haben:

[mm] $\gdw$ $-\left(2+1 + \wurzel{2} \ \right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -4,41 \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \wurzel{5+4*\left(1 + \wurzel{2} \ \right)} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ +3,83$

[mm] $\Rightarrow$ $\IL_a [/mm] \ = \ [mm] \{ \ \} [/mm] \ = \ [mm] \emptyset$ [/mm]

2. Fall $(a-1) \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $- [mm] \bruch{5}{4} [/mm] \ < \ a \ < \ 1$

[mm] $\gdw$ [/mm] $-(2+a) \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \wurzel{5+4a}$ [/mm]

...

Diesen Fall kannst Du ja nun mal selber ermitteln.

Gruß
Loddar

Bezug

Berührpunkt bestimmung: danke

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:58 Di 19.04.2005
Autor:	ChristinaB

So ich glaub habs jetzt, ist zwar alles ein bisl kompliziert aber hab jetzt auf jeden fall ne Lösung und n bisl mehr verständis!

danke an alle meine fleißigen helferleins ;-)

gruß

Christina

Bezug

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