Berührpunkt Kugel-Gerade < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Für eine Lasershow soll ein Laserstrahl im Takt der Musik Figuren auf eine Randomoberfläche zaubern. Dazu darf der Strahl aus der Ursprungsrichtung PM nur soweit nach oben abgelenkt werden, dass er gerade noch die Kuppel streift. Bestimmen sie den maximalen Ablenkwinkel von der ursprünglichen Richtung.
Anmerkungen:
aus vorherigen Aufgaben sind folgende Gegebenheiten bekannt:
P (20/12 [mm] \wurzel{3}/ \bruch{347}{22})
[/mm]
M (-12/ 12 [mm] \wurzel{3}/ \bruch{347}{22})
[/mm]
Kugelgleichung:
K: [mm] (x+12)^2 [/mm] - [mm] (y-12\wurzel{3})^2 [/mm] + [mm] (z+\bruch{347}{22})^2= (\bruch{555}{22})^2 [/mm] |
Ich denke, dass ich den richtigen Ansatz habe, aber irgendwie habe ich Probleme in der Umsetzung.
Gesucht ist ja die Tangente durch den gegebenen Punkt P an die KUgel K.
Deswegen habe ich dann damit angefangen eine Gleichung für eine HIlfsgerade h zu erstellen für alle Vektoren x die zu einem Punkt auf der HIlfgeraden zeigen mit Hilfe des Kathetensatzes:
h: ($ [mm] \vec [/mm] x $ - $ [mm] \vec [/mm] m $) ($ [mm] \vec [/mm] p $ - $ [mm] \vec [/mm] m $)= [mm] r^2
[/mm]
Dann habe ich folgende HIlfsgerade herausbekommen:
h: [mm] \begin{pmatrix}
8 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \vec [/mm] x $ + 96= [mm] (\bruch{555}{22})^2
[/mm]
Nun wollte ich die Hilfsgeradegleichung mit der Kugelgleichung gleichsetzen um die BErührpunkte zu ermitteln und genau hier hab ich mein Problem weil ich nicht weiß wie das gehen soll.
Ich hab das mit der Koordinatenform von beiden versucht, indem ich h nach x aufgelöst habe (da die y und z koordinaten ja auch gleich 0 sind) und dann in die kugelgleichung eingesetzt habe.
dann kam das hier raus:
[mm] -y^2 [/mm] + [mm] 24\wurzel{3}y+ \bruch{347}{22}z [/mm] + [mm] z^2[/mm] [mm] \approx [/mm] -2266,88
Ich glaube ich stehe irgendwie auf dem Schlauch...
naja und nachdem ich dann die Berührpunkte ausgerechnet habe würde ich einfach zwei Geraden von P zum Berührpunkt und von P zu M legen und dann den winkel zwischen diesen beiden geraden ausrechnen.
Vielen Dank im Voraus!
a-c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Di 01.02.2011 | | Autor: | Pappus |
> Für eine Lasershow soll ein Laserstrahl im Takt der Musik
> Figuren auf eine Randomoberfläche zaubern. Dazu darf der
> Strahl aus der Ursprungsrichtung PM nur soweit nach oben
> abgelenkt werden, dass er gerade noch die Kuppel streift.
> Bestimmen sie den maximalen Ablenkwinkel von der
> ursprünglichen Richtung.
>
> Anmerkungen:
>
> aus vorherigen Aufgaben sind folgende Gegebenheiten
> bekannt:
>
> P (20/12 [mm]\wurzel{3}/ \bruch{347}{22})[/mm]
> M (-12/ 12
> [mm]\wurzel{3}/ \bruch{347}{22})[/mm]
>
> Kugelgleichung:
>
> K: [mm](x+12)^2[/mm] - [mm](y-12\wurzel{3})^2[/mm] + [mm](z+\bruch{347}{22})^2= (\bruch{555}{22})^2[/mm]
Vorzeichenfehler
>
> Ich denke, dass ich den richtigen Ansatz habe, aber
> irgendwie habe ich Probleme in der Umsetzung.
>
> Gesucht ist ja die (?) Tangente durch den gegebenen Punkt P an
> die KUgel K.
Alle Tangenten von P an die Kugel bilden einen Kegel mit der Spitze P.
...
> Vielen Dank im Voraus!
>
> a-c
Guten Tag!
Eine Tangente steht senkrecht auf einem Kugelradius im Berührpunkt. Daraus folgt, dass Du es mit einfachen rechtwinkligen Dreiecken zu tun hast, die alle dieselben Seitenlängen haben:
$|Hypotenuse| = [mm] |\overline{PM}|$
[/mm]
$ |Kathete| = r $
Mit simplem Sinus bekommst Du dann den gesuchten Winkel.
Gruß
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
Vielen Dank! dann habe ich das wohl einfach mal verkompliziert...
okay ich hab jetzt folgendes gerechnet:
Der Betrag von PM ist 32
und dann habe ich [mm] tan\alpha= [/mm] 32: [mm] (\bruch{555}{22})
[/mm]
[mm] \alpha= [/mm] 51,75°
und daraus folgt dass [mm] \beta= [/mm] 180°-90°-51,75°= 38,25° ist.
Stimmt das soweit?!
LG a-c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 01.02.2011 | | Autor: | Pappus |
> Vielen Dank! dann habe ich das wohl einfach mal
> verkompliziert...
>
> okay ich hab jetzt folgendes gerechnet:
>
> Der Betrag von PM ist 32 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und dann habe ich [mm]tan\alpha=[/mm] 32: [mm](\bruch{555}{22})[/mm]
>
> [mm]\alpha=[/mm] 51,75°
>
> und daraus folgt dass [mm]\beta=[/mm] 180°-90°-51,75°= 38,25°
> ist.
>
> Stimmt das soweit?!
>
> LG a-c
Hallo,
ich versteh nicht ganz, warum Du jetzt den Tangens benutzt, nur weil Tangenten in Deiner Aufgabe vorkommen ...(?)
In meiner vorherigen Antwort hatte ich vorgeschlagen, dass Du Sinus benutzen kannst / sollst. Zur Erläuterung hier die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
ich habe ja gegeben r und die errechnete Länge 32.
also somit die gegenkathete und ankathete. die länge der hypothenuse müsste ich ja noch extra ausrechnen, deswegen habe ich das mit dem tangens gemacht.
und dann bekomme ich ja für [mm] tan\alpha [/mm] den winkel raus zwischen r und der hypothenuse und um den winkel, der bei dir gelb gefärbt ist zu errechnen habe ich das dann halt nochmal von 180 abgezogen.
ist das falsch? muss ich das zwangsläufig mit dem sinus berechnen?
LG a-c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Pappus |
> ich habe ja gegeben r und die errechnete Länge 32.
> also somit die gegenkathete und ankathete. die länge der
> hypothenuse müsste ich ja noch extra ausrechnen, deswegen
> habe ich das mit dem tangens gemacht.
> und dann bekomme ich ja für [mm]tan\alpha[/mm] den winkel raus
> zwischen r und der hypothenuse und um den winkel, der bei
> dir gelb gefärbt ist zu errechnen habe ich das dann halt
> nochmal von 180 abgezogen.
> ist das falsch? muss ich das zwangsläufig mit dem sinus
> berechnen?
>
Guten Morgen!
Deine Überlegungen sind leider falsch.
Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rw Dreieck und befindet sich gegenüber dem rechten Winkel. (Der rechte Winkel ist der größte in einem rw Dreieck und deshalb muss die Hypotenuse die größte Seite sein).
Der rechte Winkel befindet sich zwischen der Tangente und dem Radius im Berührpunkt. (Nach Deinen Überlegungen müsste sich der rechte Winkel zwischen r und [mm] $\overline{PM}$ [/mm] befinden.
Du hast also - bezogen auf den gelben Winkel - die Gegenkathete und die Hypotenuse und per Definition gilt im rw Dreieck:
[mm] $\sin(Winkel) [/mm] = [mm] \dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
[/mm]
> LG a-c
Gruß
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 02.02.2011 | | Autor: | a-c |
Okay ich bin auch davon ausgegangen, dass sich der rechtewinkel zwischen r und PM befindet. Da hatte ich wohl einen Denkfehler.
Dann habe ich jetzt [mm] sin\alpha [/mm] = r:32= 0,789
also für [mm] \alpha [/mm] ca 52,03°.
Jetzt müsste es doch richtig sein oder?
LG und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 03.02.2011 | | Autor: | Pappus |
> Okay ich bin auch davon ausgegangen, dass sich der
> rechtewinkel zwischen r und PM befindet. Da hatte ich wohl
> einen Denkfehler.
>
> Dann habe ich jetzt [mm]sin\alpha[/mm] = r:32= 0,789
>
> also für [mm]\alpha[/mm] ca 52,03°.
>
Jetzt müsste es doch richtig sein oder? Aber ja!
>
> LG und Danke
Gruß
Pappus
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