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| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die Verbindungsgerade der Wendepunkte von Kt für jedes t € R+ Tangente ist an den Graphen der Funktion g mit
g(x) = -1/(2x). Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an.
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Hallo ...
Habe die Verbindungsgerade ermittelt mit der funktion:
[mm] h(x)=\bruch{1}{2t^2}x+\bruch{1}{t}
[/mm]
Nun weiß ich gar nicht weiter. In der schule wurde irgendetwas davon erzählt die ableitung von g und h gleichzusetzten, jedoch so komme ich auf x=t ...
Kann mir jmd helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Gabs |
Es gilt allgemein, dass zwei Graphen, die sich berühren, in ihrem Berührpunkt dieselbe Steigung besitzen. Dies gilt unabhängig von der Gestalt der Graphen.
Es gilt auch, dass zwei sich berührende Graphen im Berührpunkt denselben Funktionswert haben.
Verrate uns doch noch bitte die Funktion [mm] K_{t} [/mm] mit den beiden Wendepunkten.
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erstmal danke für die antwort, jedoch verstehe ich es nicht so wirklich ...
wieso geht es denn nicht, dass ich g und h einfach gleichsetze? DIE berühren sich doch ...??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Gabs |
Selbstverständlich kannst du g(x)=h(x) setzen und dann x ausrechnen.
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Hääää??
Tut mir leid aber jetzt verstehe ich gar nix mehr!!
erstmal sagst du mir ich soll es über die steigung also über die ableitungen machen und jetzt die ausgangsfunktion würde auch gehen...ich habe beides gerechnet und da kommen andere werte raus ...
ich frage mal anders...wie würdest du die aufgabe rechnen?wir müsste ich vorgehen...kannst du vllt die schritte sagen, wie ich vorgehen muss?
Danke ...:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Gabs |
Für Berührpunkte gilt:
Gleiche Steigung beider Graphen, gleiche Funktionswerte beider Graphen. Beide Lösungsansätze können zum Ziel führen.
Verrate doch bitte die Funktion [mm] K_{t}!
[/mm]
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[mm] \bruch{2x}{x^2+t^2}+\bruch{1}{t}
[/mm]
Das ist die Funktion und es sind 3 wendepunkte ...
Also funktioniert sowohl g(x)=h(x) als auch g´(x)=h'(x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Gabs |
Verwendet man g(x)=h(x), dann kann man den gemeinsamen x-Wert bestimmen. Es ist aber nicht ersichtlich, ob es sich um einen Schnittpunkt oder um einen Berührpunkt handelt.
Verwendet man g'(x)=h'(x), dann kann man den x-Wert ermitteln, bei dem beide Graphen die gleiche Steigung besitzen. Es ist aber nicht ersichtlich, ob sich beide Graphen berühren.
Nur gemeinsamer Punkt und gleiche Steigung sind charakteristisch für einen Berührpunkt.
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:D:D:D vielel lieben danke für eure beiträge , ich lerne immer mehr dazu, jedoch in bezug auf diese aufgabe verwirrt es mich nur noch mehr....
Wie muss ich also beide bedingungen miteinander verknüpfen?
(ich hätte nicht gedacht, dass dies aufgabe SO kompliziert ist) ...
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Hallo, zu untersuchen ist doch jetzt h(x) und g(x)
h(x) [mm] =\bruch{1}{2*t^{2}}*x+\bruch{1}{t} [/mm] Verbindungsgerade der Wendepunkte
[mm] g(x)=-\bruch{1}{2x}
[/mm]
berechne zunächst die Ableitungen beider Funktionen, dann setze gleich
h(x)=g(x) und
h'(x)=g'(x)
Steffi
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OK, ich schreib mal meine rechnungen auf ...
h`(x)=g`(x)
[mm] \bruch{1}{2t^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x^2}
[/mm]
...
x=t oder x=-t
Hab schon dazu eine Frage...ist jetzt x=-t eine mögliche lösung, weil ja der definitionsbereich von t auf alle positiven zahlen beschränkt wurde ??
g(x)=h(x)
[mm] \bruch{-1}{2x}=\bruch{1}{2t^2}x+\bruch{1}{t}
[/mm]
...
x²=-t²-2tx
SO, hier komme ich jetzt auch nicht weiter... wie kriege ich das rechte x auf die linke seite?
Ich kann glaub ich nicht mehr klar denken aufgrund des dicken brettes vor meinem kopf...*verzweifelt*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Gabs |
Multipliziere beide Seiten mit [mm] 2t^2
[/mm]
Multipliziere beide Seiten mit x
dann solltest du erhalten:
[mm] x^2+2tx+t^2=0
[/mm]
und dies kannst du lösen.
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danke :)
Aber mit dem multiplizieren könnte ich es mir sparen ist mir jetzt aufgefallen :D...hätte x² nur rüberbringen müssen und dann hätte ich auch schon meine p-q-formel... ok und muss ich jetzt die beiden ansätze noch irgendwie in bezug bringen?weil vorher geschrieben wurde, dass ich beide bedingungen brauche...?
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Hallo, lese dir mal bitte die andere Antwort von mir durch, das empfinde ich als einfacher, Steffi
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Hallo,
x=-t ist eine mögliche Lösung, angenommen t=3, so würde x=-t bedeuten, an der Stelle -3 berühren sich h(x) und g(x)
untersuche, ob
[mm] \bruch{1}{2t^{2}}*x+\bruch{1}{t}=-\bruch{1}{2x}
[/mm]
für x=t oder für x=-t eine wahre Aussage ergibt,
Steffi
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dankeschön...aber mal noch eine frage...hätte ich mir eigentlich den schritt mit dem gleichsetzen der ausgangsgleichungen nicht doch sparen können?
Zwar habe ich darauf bestanden, wieso das nicht gehen würde, aber jetzt sehe ich es ein, dass das Gleichsetzen der ableitungen gereicht hätte oder nicht?
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Hallo, nur die Ableitungen gleichzusetzen reicht nicht, daraus bekommst du zwei mögliche Lösungen x=-t und x=t, die Funktionen gleichzusetzen h(x)=g(x) bekommst du dann die Lösung x=-t, Steffi
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Hallo nochmal...
Ich hatte es jetzt genau andersherum...durch die Fkt. habe ich zwei ergebnisse bekommen und durch die ableitungen nur das ergebnis x=-t...?
:'(
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OOOOH nein nein :D:D
ich hatte es doch nicht andersherum...
hab mich nur verguckt:D:D
DANKE AN ALLE für die schwierige geburt :D
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Hallo, ich glaube, du hast nach den vielen Fragen und Antworten die Ausgangsfrage vergessen
[mm] f_K(x)=\bruch{2x}{x^{2}+t^{2}}+\bruch{1}{t} [/mm] deine Krvenschar (rot gezeichnet)
[mm] h(x)=\bruch{1}{2t^{2}}x+\bruch{1}{t} [/mm] die Verbindungsgerade der Wendepunkte (grün gezeichnet)
[mm] g(x)=-\bruch{1}{2x} [/mm] (blau gezeichnet)
zu zeigen war, h(x) ist eine Tangente an g(x), über die Schritte h(x)=g(x) und h'(x)=g'(x)
ich habe dir mal für t=0,5 alles gezeichnet, an der Stelle x=-0,5 berührt die Gerade h(x) die Funktion g(x)
[Dateianhang nicht öffentlich]
bedenke aber, es ist nach dem Berührpunkt gefragt, bis jetzt hast du erst die Berührstelle x=-t berechnet also noch h(t) oder g(t)
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ja du hast recht...ich muss glaub ich ne kleine pause einlegen und dann mir alles nochmal in ruhe angucken, aber ich glaube ich habe es jetzt endlich verstanden ...
DANKE SEEEEEHR !! :-* :-* :-*
Ich wünsche allen noch einen schönen Abend :)
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Oh tut mir leid, hab es überlesen, dass ich die Fkt. noch hinschreiben sollte, die jedoch drei wendepunkte hat :
[mm] \bruch{2x}{x^2 + t^2}+\bruch{1}{t}
[/mm]
Und noch eine Frage:
ist es dann im allgemeinen so, dass sich schneidende Graphen dieselbe steigung im schnittpunkt haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Powerranger!
> Und noch eine Frage:
> ist es dann im allgemeinen so, dass sich schneidende
> Graphen dieselbe steigung im schnittpunkt haben?
Nein. Schneidende Graphen haben denselben Funktionswert im Schnittpunkt.
Wenn sich die Graphen jedoch nur "berühren" sollen, stimmen sie am Berührpunkt sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung überein.
Gruß
Loddar
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Dankeschön :)
Also funktioniert sowohl g(x)=h(x) als auch g´(x)=h'(x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Powerranger!
Du musst hier auch beide Bedingungen verwenden.
Gruß
Loddar
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wieso denn das?
zwar, wenn ich es richti gerechnet habe, führen beide wege zu anderen ergebnissen, aber muss ich beide ansätze verwenden?
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Hallo, ich kann nur die Antwort von Loddar wiederholen, JA!! sicherlich hast du einen Fehler in deiner Rechnung, den können wir aber nur finden, wenn du selbige aufschreibst, Steffi
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