Berührpkt Tangente-Schaubild < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 24.10.2006 | | Autor: | Timsge |
| Aufgabe | geg: f(x) = x / (x+1), R (3/1)
Vom Punkt R wird eine Tangente an das schaubild f gelegt. Berechnen sie die Koordinaten des berührpunktes & Geben sie die Gleichung der Tangente an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage: Wie löse ich so eine Aufgabe? Um den Schnitt-Berührpunkt zu finden muss ich ja die Tagentengleichung und f(x) gleichsetzen...
Aber ich komm da auch wirklcih kein ergebnis, denn ich habe ja nur f'(x) und den Punkt R zu verfügung... Sorry, dass ich kein Ansatz präsentieren kann, aber ich bin ratlos.
Grüße & Danke im Vorraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 24.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meine Idee, ist, das ganze jetzt mal allgemein zu machen.
Also
Die Tangente am Berührpunkt [mm] (x_{b}/f(x_{b})) [/mm] hat ja die Steigung [mm] f'(x_{b}). [/mm]
Und sie soll durch (3/1) gehen.
Also muss gelten sie die Gleichung [mm] 1=3*f'(x_{b})+n\gdw n=1-3*f'(x_{b})
[/mm]
Das heisst
[mm] t(x)=f'(x_{b})*x+1-3*f'(x_{b}).
[/mm]
Am Berührpunkt gilt jetzt ja. [mm] x=x_{b}
[/mm]
Das heisst, du kannst den Berührpunkt berechnen, indem du t(x)=f(x) setzt.
Also
[mm] \bruch{x}{x+1}=f'(x)*x+1-3*f'(x), [/mm] wobei [mm] f'(x)=\bruch{(1*(x+1))-1*x}{(x+1)²}=\bruch{1}{(x+1)²}
[/mm]
Also wird t(x)=f(x)
[mm] \bruch{x}{x+1}=\bruch{1}{(x+1)²}*x+1-3*\bruch{1}{(x+1)²}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{x+3}{(x+1)²}=\bruch{x}{x+1}+1
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{x+3}{(x+1)²}=\bruch{x(x+1)}{(x+1)²}+1
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{x+3-[x(x+1)]}{(x+1)²}=1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x+3-[x²+x]=(x+1)²
[mm] \gdw [/mm] -x²+3=x²+2x+1
[mm] \gdw [/mm] -2x²-2x+2=0
[mm] \gdw [/mm] x²+x-1=0
Daraus mit p-q-Formel
[mm] x_{1;2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+1}
[/mm]
Das heisst, du hast die beiden x-Werte der Berührpunkte.
Der Rest dürfte dann kein Problem mehr darstellen. (auch die Tangente in eine von [mm] x_{b} [/mm] unabhängigen Form.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Di 24.10.2006 | | Autor: | Timsge |
Eigentlich is die Sache recht simpel, draufgekommen wär ich glaub in 2 stunden noch nich... Vielen Dank Rex, ich hoff ich kann anderen irgendwo genauso helfen, wie du mir hier =)
Grüßle, Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 24.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist fast immer so, dass man, wenn man es erklärt bekommt, sich an den Kopf fasst, nach dem Motto: "Da hätte ich aber selber drauf kommen können"
Marius
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