Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung ,dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt
[mm] n^7+n^3+8\geq [/mm] 10n |
Ich gehe momentan zur Klausurvorbereitung ein paar alte Aufgaben durch aber ich stecke hier fest.
Mir ist nicht klar ,wie ich die Ungleichung von ihrer Form hier in di Form für die Bernoullische Ungleichung bringen soll.
Hat jemand vlt eine Starthilfe für mich?
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Hallo moffeltoff,
> Zeigen sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung ,dass
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt
>
> [mm]n^7+n^3+8\geq[/mm] 10n
> Ich gehe momentan zur Klausurvorbereitung ein paar alte
> Aufgaben durch aber ich stecke hier fest.
> Mir ist nicht klar ,wie ich die Ungleichung von ihrer Form
> hier in di Form für die Bernoullische Ungleichung bringen
> soll.
> Hat jemand vlt eine Starthilfe für mich?
Nun, schreibe jeweils $n=1+(n-1)$ und wende die Ungleichung an ...
Gruß
schachuzipus
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Ok den Induktionsanfang und den Text zur Induktionsannahme lasse ich jetzt mal weg.
Vorüberlegung [mm] (1+n)^7\geq1+7n
[/mm]
[mm] (1+n)^3^\geq1+3n
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] (1+n)^7+(1+n)^3+8^\geq10(1+n)
[/mm]
[mm] 1+7n+1+3n+8\geq10+10n
[/mm]
[mm] 10n+10\geq10n+10
[/mm]
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Hallo moffeltoff,
> Ok den Induktionsanfang und den Text zur Induktionsannahme
> lasse ich jetzt mal weg.
>
> Vorüberlegung [mm](1+n)^7\geq1+7n[/mm]
> [mm](1+n)^3^\geq1+3n[/mm]
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm](1+n)^7+(1+n)^3+8^\geq10(1+n)[/mm]
> [mm]1+7n+1+3n+8\geq10+10n[/mm]
> [mm]10n+10\geq10n+10[/mm]
>
Es ist doch [mm]n^{7}=\left( \ 1+\left(n-1\right) \ \right)^{7} \ge 1+7*\left(n-1\right)[/mm]
Lasse die linke Seite stehen:[mm]n^{7}+n^{3}+8[/mm]
und wende darauf die Bernoullische Ungleichung, wie gezeigt, an.
Gruss
MathePower
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Also ich hab folgendes:
[mm] (1+n)^7+(1+n)^3+8\geq(1+7(n-1))+(1+3(n-1))+8
[/mm]
[mm] (1+n)^7+(1+n)^3+8\geq1+7n-7+1+3n-3+8
[/mm]
[mm] (1+n)^7+(1+n)^3+8\geq10+10n-10
[/mm]
[mm] (1+n)^7+(1+n)^3+8\geq10n
[/mm]
Das dürfte doch die Ungleichung beweisen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo moffeltoff!
Die rechte Seite ist jeweils korrekt. Auf der linken Seite jedoch ignorierst Du hartnäckigst mehrfach gegebene Tipps!
Es gilt:
[mm] $n^7 [/mm] \ = \ [mm] (1+n-1)^7 [/mm] \ = \ [mm] [1+(n-1)]^7$
[/mm]
Und darauf lässt sich dann Herr Bernoulli anwenden.
Gruß
Loddar
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Ich glaube es hat jetzt bei mir Klick gemacht :
[mm] (1+n-1)^7+(1+n-1)^3+8\geq1+(n-1)*7+1+(n-1)*3+8
[/mm]
[mm] (1+n-1)^7+(1+n-1)^3+8\geq1+7n-7+1+3n-3+8
[/mm]
[mm] (1+n-1)^7+(1+n-1)^3+8\geq7n+3n+1+1+8-7-3
[/mm]
[mm] (1+n-1)^7+(1+n-1)^3+8\geq10n
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo moffeltoff!
So stimmt es nun endlich.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo moffeltoff!
Und dann ist hier eine vollständige Induktion völlig fehl am Platze. Du sollte lediglich die Bernoulli-Ungleichung (welche doch wohl als bekannt und beweisen vorausgesetzt werden kann) anwenden.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Immer bedenken:
> Das Licht am Ende eines Tunnels kann auch ein Idiot mit einer Kerze sein!!
Hallo Loddar,
und wenn Du denkst es geht nicht mehr, kommt von irgendwo ein Lichtlein her.
Gruß FRED
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