Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für alle [mm] a\in [/mm] [0,1] und alle [mm] n\in\IN [/mm] die Ungleichung [mm] (1+a)^n \le 1+(2^n-1)a [/mm] gilt |
meine Beobachtungen:
erstmal habe ich mir die Anordnungsaxiome angeschaut,die für Lösungen von Ungleichungen nötig sind.
Dann habe ich bemerkt, dass diese Ungleichung der Bernoullischen Ungleichung ähnelt:
für jedes natürliche [mm] n\ge2 [/mm] und alle von Null verschiedenen x>-1 ist
[mm] (1+x)^n>1+nx
[/mm]
a ist Element des geschlossenen Intervalls von 0 bis 1
der (IA) wäre doch zu zeigen dass [mm] (1+a)^n \le 1+(2^n-1)a [/mm] für n=1 gilt.
[mm] (1+a)^1 \le 1+(2^1-1)a [/mm]
1+a [mm] \le [/mm] 1+a stimmt offensichtlich
der Induktiosschritt wäre, dass es auch für [mm] (1+a)^n^+^1 \le 1+(2^n^+^1-1) [/mm] gilt
so an der Stelle glaube muss das archimedische Axiom greifen, was besagt dass zu jeder reelen Zahl a es eine natürliche Zahl n gibt so dass n-1 >0 ist
also [mm] (1+a)^n^+^1=(1+a)^n(1+a)...wenn [/mm] ich das weiterführe komme ich aber nicht auf die rechte Seite der Ungleichung.
kann mir jemand hier ein Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]a\in[/mm] [0,1] und alle [mm]n\in\IN[/mm] die
> Ungleichung [mm](1+a)^n \le 1+(2^n-1)a[/mm] gilt
> meine Beobachtungen:
> erstmal habe ich mir die Anordnungsaxiome angeschaut,die
> für Lösungen von Ungleichungen nötig sind.
>
> Dann habe ich bemerkt, dass diese Ungleichung der
> Bernoullischen Ungleichung ähnelt:
>
> für jedes natürliche [mm]n\ge2[/mm] und alle von Null verschiedenen
> x>-1 ist
> [mm](1+x)^n>1+nx[/mm]
>
> a ist Element des geschlossenen Intervalls von 0 bis 1
>
> der (IA) wäre doch zu zeigen dass [mm](1+a)^n \le 1+(2^n-1)a[/mm]
> für n=1 gilt.
> [mm](1+a)^1 \le 1+(2^1-1)a[/mm]
> 1+a [mm]\le[/mm] 1+a stimmt offensichtlich
>
> der Induktiosschritt wäre, dass es auch für [mm](1+a)^n^+^1 \le 1+(2^n^+^1-1)[/mm]
> gilt
>
> so an der Stelle glaube muss das archimedische Axiom
> greifen, was besagt dass zu jeder reelen Zahl a es eine
> natürliche Zahl n gibt so dass n-1 >0 ist
> also [mm](1+a)^n^+^1=(1+a)^n(1+a)...wenn[/mm] ich das weiterführe
> komme ich aber nicht auf die rechte Seite der Ungleichung.
>
> kann mir jemand hier ein Tipp geben?
Induktionsschritt:
Es gelte [mm] $1+(2^n-1)a \ge (1+a)^n$.
[/mm]
Dann
[mm] $1+(2^{n+1}-1)a=1+(2*2^n-1)a=1+(2^n-1)a+2^n*a \ge (1+a)^n+2^n*a$.
[/mm]
Nun genügt es, zu begründen, warum [mm] $(1+a)^n+2^n*a \ge (1+a)^{n+1}$ [/mm] gilt. Ich habe mal so umgeformt (durch [mm] $(1+a)^n$ [/mm] dividieren, zusammenfassen und auf beiden Seiten [mm] $\black{-1}$ [/mm] rechnen)
[mm] $(1+a)^n+2^n*a \ge (1+a)^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\left(\frac{2}{1+a}\right)^n [/mm] a [mm] \ge [/mm] a$.
Für a=0 gilt diese Ungleichung in trivialer Weise für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] und für $0 < a [mm] \le [/mm] 1$ gilt sie auch für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] weil...
P.S.:
Wenn Du magst, kannst Du auch den Induktionsschritt so "aufbauen", wie Du damit angefangen hast:
Es gelte [mm] $1+(2^n-1)a \ge (1+a)^n$.
[/mm]
Dann:
[mm] $(1+a)^{n+1}=(1+a)^n*(1+a) \le (1+(2^n-1)*a)*(1+a)$.
[/mm]
Im nächsten Schritt solltest Du dann begründen, warum
[mm] $$(1+(2^n-1)*a)*(1+a) \le 1+(2^{n+1}-1)*a$$
[/mm]
gilt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank für deine Mühe, dass hilft mir weiter.
viele Grüße und nochmals Danke
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