Bernoullische DGl - Intervall? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm] z(x)=u^{-4}(x) [/mm] alle Lösungen der Differentialgleichung
[mm] u'-u=xu^5.
[/mm]
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Also an sich macht die Aufgabe ja keine Probleme. Nach Substitution komm ich auf
z'+4z=-4x
das gelöst ergibt
[mm] z(x)=de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}, d\in\IR
[/mm]
Nun aber Rücksubstitution würde ja ergeben
[mm] u(x)=\bruch{1}{\wurzel[4]{de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}}}
[/mm]
und spätestens da müsste man doch das Lösungsintervall irgendwie einschränken?! Oder ist die DGL dann nicht lösbar, da u(x) nicht für alle x definiert ist?
Danke schonmal,
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Hallo Cybrina,
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm]z(x)=u^{-4}(x)[/mm]
> alle Lösungen der Differentialgleichung
> [mm]u'-u=xu^5.[/mm]
>
> Also an sich macht die Aufgabe ja keine Probleme. Nach
> Substitution komm ich auf
>
> z'+4z=-4x
>
> das gelöst ergibt
>
> [mm]z(x)=de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}, d\in\IR[/mm]
>
> Nun aber Rücksubstitution würde ja ergeben
>
> [mm]u(x)=\bruch{1}{\wurzel[4]{de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}}}[/mm]
Mit [mm]u\left(x\right)[/mm] ist hier auch [mm]-u\left(x\right)[/mm] Lösung der Bernoulli-DGL.
Welche Lösung jetzt die Richtige ist,
hängt von der Anfangsbedingung ab.
>
> und spätestens da müsste man doch das Lösungsintervall
> irgendwie einschränken?! Oder ist die DGL dann nicht
> lösbar, da u(x) nicht für alle x definiert ist?
Das Lösungsintervall ist auf diejenigen x zu beschränken,
für die
[mm]d*e^{-4x}-x+\bruch{1}{4} > 0 [/mm]
ist.
>
> Danke schonmal,
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm]z(x)=u^{-4}(x)[/mm]
> alle Lösungen der Differentialgleichung
> [mm]u'-u=xu^5.[/mm]
>
> Also an sich macht die Aufgabe ja keine Probleme. Nach
> Substitution komm ich auf
>
> z'+4z=-4x
>
> das gelöst ergibt
>
> [mm]z(x)=de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}, d\in\IR[/mm]
>
> Nun aber Rücksubstitution würde ja ergeben
>
> [mm]u(x)=\bruch{1}{\wurzel[4]{de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}}}[/mm]
>
> und spätestens da müsste man doch das Lösungsintervall
> irgendwie einschränken?! Oder ist die DGL dann nicht
> lösbar, da u(x) nicht für alle x definiert ist?
Die DGL ist schon lösbar, aber die Lösung existiert nur für [mm] $x
Wenn aber für bestimmte Werte von $d$ der Ausdruck [mm] $de^{-4x}-x+\bruch{1}{4}$ [/mm] keine Nullstelle hat, sondern für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] negativ ist, dann hat die DGL überhaupt keine Lösung. Diese Bedingung gibt dir eine untere Schranke für $d$.
Viele Grüße
Rainer
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